小议函数的值域的应用问题

■王 健

函数的值域是函数的重要性质之一,求函数的值域有多种方法,不仅如此,同学们还要善于从函数的值域出发寻找解决函数其他问题的方法,如已知函数的值域求函数的定义域、求解析式、求参数的值或取值范围等。下面就此小议函数的值域的应用问题。

一、求函数的定义域

例1 (多选题)已知函数y=x2-2x+3 的值域是[2,11],则其定义域可能是( )。

A.[0,4] B.[-1,1]

C.[2,3] D.[-1,4]

令x2-2x+3=2,解得x=1;令x2-2x+3=11,解得x=4或x=-2。据此作出函数y=x2-2x+3的大致图像,如图1所示。

图1

设此函数的定义域为M,则[-2,1]⊆M或[1,4]⊆M。结合图像可知,B,C 错误。应选AD。

评注:函数的定义域中的每个元素在其值域中都有唯一元素与之对应;反之,函数的值域中的每个元素在其定义域中有一个或多个元素与之对应。

二、求函数的值域

8x+y-b=0。

因为该方程有实数解,所以Δ=64-4(y-a)(y-b)≥0,即y2-(a+b)y+ab-16≤0。

又因为1≤y≤9,所以1,9是方程y2-(a+b)y+ab-16=0的两个实数根。

评注:利用一元二次方程的根的判别式,可以求系数的取值范围、判断方程根的个数及根的分布情况等,在解题中应用十分广泛。

三、求函数的解析式

四、求参数的值

五、求参数的取值范围

例5 若函数f(x)=x2-8x+15的定义域为[1,a],值域为[-1,8],则实数a的取值范围是( )。

A.(1,7] B.(4,7)

C.[1,4] D.[4,7]

易得f(4)=-1,f(x)=x2-8x+15=(x-4)2-1≥-1。作出函数f(x)=x2-8x+15 的大致图像,如图2所示。

图2

由f(x)的定义域为[1,a],值域为[-1,8],且f(1)=8,结合图像得a≥4。

由题意可得f(a)=a2-8a+15≤8,所以1≤a≤7。

综上可得,4≤a≤7。应选D。