抽象函数问题的类型与求解方法

■彭恒彪

由于抽象函数表现形式抽象,对数学思维能力考查的起点较高,使得这类问题成为函数内容的难点之一。下面介绍抽象函数的常见类型与求解方法。

聚焦1:“赋值法”求抽象函数的值

赋值法就是根据题目的具体情况,合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

例1 已知y=f(x)+3x2的图像关于原点对称,若f(2)=3,函数g(x)=f(x)-3x,则g(-2)的值是____。

解:因为y=f(x)+3x2的图像关于原点对称,所以f(-x)+3(-x)2=-[f(x)+3x2],即f(-x)=-f(x)-6x2。令x=2,则f(-2)=-f(2)-6×22=-3-24=-27。在g(x)=f(x)-3x中,令x=-2,则g(-2)=f(-2)-3×(-2)=-21。

评注:构建g(-2)与已知f(-2)的关系,利用y=f(x)+3x2的图像关于原点对称得到f(-x)=-f(x)-6x2,通过赋值得到f(-2),最后得到g(-2)。

聚焦2:“赋值法”探究抽象函数的奇偶性

判断抽象函数的奇偶性的关键是得到f(x)与f(-x)的关系,解题时要对有关变量进行赋值,使其最后只保留f(x)与f(-x)的关系。

例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=1,试判断此函数的奇偶性。

解:令x=y=0,由f(x+y)=f(x)+f(y),可 得f(0)=f(0)+f(0),所 以f(0)=0。令y=-x,由f(x+y)=f(x)+f(y),可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(-x),所以此函数是偶函数。

评注:要得到f(x)与f(-x)的关系,首先对x,y赋值,可得f(0)=0,再对x,y赋值,可得f(x)=-f(-x)。

聚焦3:利用“配凑法”证明抽象函数的单调性

配凑法就是通过恰当的拼与凑,使问题明了化、简单化,从而达到比较容易解决问题的目的。配凑法的实质是一种迂回的解题方法,体现了转化与化归思想。配凑法证明抽象函数的单调性是利用题设条件,结合单调性的定义进行转化求解的。

例3 定义在R 上的函数f(x)满足:对任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x>0时,0

聚焦4:“赋值法”求抽象函数的解析式

赋值法求抽象函数的解析式,首先要对题设中的有关参数进行赋值,再得到函数解析式的某种递推关系,最后求得函数的解析式。

评注:其实,本题也可换一种思维方式,对于关系式f(a+b)=f(a)+f(b)+ab,令a=1,得到f(b+1)与f(b)的关系,由a,b都是自然数,得到f(n+1)-f(n)=n(n∈N),这实质上就是一种数列的递推公式。

聚焦5:“定义法”解抽象函数不等式

解抽象函数不等式,可利用函数单调性的定义,如“已知函数f(x)是增函数,若f(x1)

聚焦6:构造初等函数,求解抽象函数问题

有些抽象函数是以基本函数为背景抽象而得的。解题时,若能从研究抽象函数的背景函数入手,根据抽象函数的有关性质,通过类比,猜想出它可能为某种基本函数,再由具体函数的图像与性质来解决抽象函数问题,则可达到事半功倍的效果。

例6 设定义在R 上的函数f(x),对于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(1)=-2,当x>0时,f(x)<0。

(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明。

(2)试问:当-3≤f(x)≤3 时,f(x)是否有最值? 如果有,求出最值;如果没有,说明理由。

解:对于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),可猜想抽象函数f(x)的原形函数为f(x)=kx,当x>0时,f(x)<0,可得k<0。猜想如下:函数f(x)是奇函数,函数f(x)在R 上是减函数。

(1)令x=y=0,可得f(0)=0,令y=-x,可得f(0)=f(-x)+f(x),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数。

(2)设-3≤x10时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,所以f(x2)

当x=-3时,f(x)有最大值f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6;当x=3 时,f(x)有最小值f(3)=-6。

评注:在解答抽象函数问题时,若能寻找出抽象函数的模型函数,根据模型函数的图像与性质,找出问题的解法或证法,是一种行之有效的好方法。