一道好题带你掌握抽象函数

■魏田田

题目 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,且f(1)=3。

问题1:求f(0)的值。

解:令x=0,y=0,解得f(0)=0。

问题2:证明:对任意的x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-f(y)成立。

证明:令x=(x-y)+y,可得f(x)=f[(x-y)+y]=f(x-y)+f(y),即f(x-y)=f(x)-f(y)成立。

问题3:判断函数f(x)在R上的奇偶性。

解:任取x∈R,则-x∈R。令y=-x,则f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0,可得f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数。

问题4:用定义法判断函数f(x)在R 上的单调性。

解:任取x1,x2∈R,且x10。因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在R 上单调递增。

问题5:解不等式f(x2-3x)+f(2x-6)>0。

解:f(x2-3x)+f(2x-6)>0,即f(x2-3x)>-f(2x-6)。由 问 题3 知 函数f(x)为奇函数,所以f(x2-3x)>f(6-2x)。由问题4 知函数f(x)在R 上单调递增,所以x2-3x>6-2x,解 得x<-2 或x>3。故所求不等式的解集为{x|x<-2或x>3}。

问题6:若存在x∈[2,3],使f(x2-mx)+f(x)<6成立,求实数m的取值范围。

问题8:请写出一个同时满足以下三个条件的具体函数f(x):①对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立;②当x>0时,f(x)>0;③f(1)=3。

解:①对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,可知f(x)可以是正比例函数f(x)=kx。②当x>0 时,f(x)>0,可知k>0。③f(1)=3,可知f(1)=k×1=3,解得k=3。故函数f(x)=3x。