考虑微结构连接性的双尺度结构自然频率拓扑优化

罗 潇, 刘 湃, 曾雨琪, 李 坚, 徐友良

(1.中国航发湖南动力机械研究所,株洲 412000;2.大连理工大学 工业装备结构分析优化与CAE软件全国重点实验室,大连 116024)

1 引言

从Bendsøe等[1]提出基于均匀化的结构拓扑优化方法以来,结构拓扑优化经历了30余年的快速发展,成为结构优化领域的前沿之一。结构的自然频率是工业领域关心的指标之一。通过拓扑优化技术设计结构的刚度和质量分布,能够有效调节其振动频率进而避免共振。学者们以结构的自由振动频率为优化目标开展了系统的拓扑优化方法研究,Díaaz等[2]提出了基于均匀化的自然频率最大化拓扑优化方法;Ma等[3]系统研究了指定阶自然频率最大化、指定频率间隙最大化以及获取指定自然频率值的优化问题;Du等[4]提出了材料分段插值模型来降低优化过程中伪振动模态的影响。

近年来,增材制造技术的快速发展,使具有相对复杂构型的结构及材料微结构拓扑设计结果的快速制备成为可能[5,6]。多孔材料因具有较大的孔隙率、轻质和良好的多物理性能(如散热/减振与承载),在航空航天等领域应用广泛。学者们针对含多孔材料的结构与材料微结构拓扑一体化设计开展研究[7-10]。现有结构与材料一体化拓扑优化研究大多基于均匀化方法计算材料微结构的宏观等效性能。基于均匀化方法设计含不同多孔材料的双尺度结构时,因不同多孔材料的微结构间缺乏明确的尺度关系,无法确保不同多孔材料微结构之间的连接性(图1),进而制约了多尺度优化设计的可制造性。为确保结构与材料一体化设计中不同材料微结构的连接性,学者们提出了多种设计方法,Wang等[11]提出通过形状插值获得拓扑相同但体积分数随空间位置变化的微结构构型,确保了多尺度设计的微结构连接性;Zhou等[12]通过在不同多孔材料的微结构单胞施加非设计域的方法确保其连接性,但非设计域的选取依赖设计经验;Du等[13]针对宏观尺度布局固定的多种多孔材料,提出在相邻微结构的边界施加优化约束确保其连接性,其中优化约束的数目依赖考虑的多孔材料数目及其空间分布形式;Garner等[14]提出在优化过程中将所有相邻微结构单胞组成复合单胞进行设计来确保连接性,该方法计算成本较高(特别是针对三维设计问题);含多种多孔材料的结构与材料一体化拓扑优化的特点之一是多孔材料的宏观尺度布局随优化迭代不断演化,Liu等[15]针对双尺度结构刚度最大化设计问题提出了微结构单胞可设计连接区域方法,不依赖优化约束通过设计变量链接确保了不同二维或三维多孔材料微结构设计任意空间排布的连接性。

图1 基频最大化双尺度结构拓扑优化中的微结构连接性问题Fig.1 Microstructure connectivity issue in two-scale structure topology optimization maximizing the fundamental frequency

本文针对含不同多孔材料的双尺度结构基频最大化设计问题,考虑多孔材料之间的连接性,同时优化多孔材料的宏观布局/拓扑及其微结构构型。假设材料微结构尺寸远小于宏观结构尺寸,采用均匀化方法计算多孔材料的宏观等效力学性能。在微结构尺度,基于SIMP方法表征多孔材料的微结构拓扑;在宏观结构尺度,结合离散材料插值模型[16]与RAMP插值模型[17],插值各向异性多孔材料的应力-应变矩阵并表征宏观结构的拓扑,同时减轻伪振动模态对优化过程的影响。在各多孔材料微结构单胞内采用可设计连接区域法,确保双尺度结构优化设计中多孔材料微结构之间的连接性。建立以双尺度结构振动基频为目标函数、以多孔材料宏微观体积为约束的优化列式,并推导灵敏度信息,基于数学规划算法(本文采用MMA(method of moving asymptote))求解优化问题。

2 含多种多孔材料的结构振动基频最大化双尺度拓扑优化

本节包含的主要变量及其含义列入表1。

表1 主要变量说明表Tab.1 Primary variables and their explanations

2.1 双尺度结构拓扑优化问题的宏微观设计变量定义

本文考虑的双尺度结构与材料一体化拓扑优化问题,包含微结构尺度和宏观结构尺度两类设计变量。

宏观尺度设计变量定义为

(i=1,2,…,m;e=1,2,…,N)

2.2 宏微观尺度下多孔材料力学性能拓扑优化插值模型

在微结构尺度,为避免数值不稳定现象,对设计变量进行密度过滤及投影,并基于SIMP模型插值微结构中任意有限单元的应力-应变矩阵。第i种多孔材料的第g个有限单元的应力-应变矩阵可以表示为

(1)

(2)

在宏观结构尺度,采用离散材料优化方法[16]插值不同多孔材料的各向异性应力-应变矩阵,并结合RAMP插值模型[17]表征结构拓扑进而降低伪振动模态对优化过程的影响。综上,宏观尺度下单元e的应力-应变矩阵可以表示为

(3)

(4)

类似地,结合离散材料优化方法和RAMP插值模型,宏观尺度下有限单元e的质量密度可表示为

(5)

(6)

2.3 宏微观尺度下多孔材料力学性能拓扑优化插值模型

为计算多孔材料的微结构宏观等效力学性能,在微结构单胞尺度,基于式(1)表征多孔材料i的单元应力-应变矩阵Dig,进一步在微结构单胞Y施加周期性边界条件并求解不同单位应变作用下的微结构平衡方程

(7)

(8)

(9)

(10)

3 微结构可连接的结构基频最大化双尺度拓扑优化方法

3.1 确保微结构连接性的可设计连接区域方法

本文考虑含多类多孔材料的结构与材料一体化设计问题。假设多孔材料微结构尺度远小于宏观结构尺度,基于均匀化方法高效计算多孔材料的宏观等效力学性能。

图2 确保微结构连接性的可设计连接区域方法Fig.2 Designable connective region method to ensure the connectivity of the microstructures

3.2 基频最大化的结构与材料一体化拓扑优化列式

本文考虑含多种多孔材料的结构基频最大化双尺度拓扑优化问题,考虑微结构之间的连接性,建立拓扑优化列式

Max.w1

(11)

式中目标函数为结构的一阶自由振动频率,第一个优化约束为结构的自由振动方程,其中刚度矩阵和质量矩阵均依赖于设计变量d(式(1,3,5,9)),第二和第三组优化约束分别表示每种多孔材料微结构的体积分数以及各类多孔材料在宏观尺度所占体积分数约束,第四组为微结构可设计连接区域法的表达式(注意该方法通过设计变量链接实现,并未增加优化约束的数目),第五及第六组为微观及宏观设计变量的上下限约束。值得注意的是,本文关注具有指定孔隙率的材料微结构周期性排布构成的宏观结构的双尺度设计问题及其微结构之间的连接性问题,因而给定各类微结构体积分数。

本文采用伴随变量法推导目标函数的灵敏度信息,目标函数对宏观或微观设计变量的灵敏度信息可表示为

(12)

式中当dk取为宏观或微观设计变量时,式(12)中刚度矩阵及质量矩阵对设计变量的导数可通过链式法则求出。如结构出现重合的一阶和二阶自然频率,本文采用Jensen等[18]提出的方法计算重特征值情况下的灵敏度信息。

4 数值算例

通过两端固支/简支梁的基频最大化结构与材料一体化拓扑优化算例验证本文优化算法的有效性。在微结构尺度下,设计变量的密度过滤半径取为平均网格边长的1.7倍;微观设计变量的惩罚系数pMI(式(1))取为3;投影参数β(式(2))随优化迭代逐渐从1提高到其上限βmax=64。在宏观尺度下,设计变量的过滤半径取为平均网格边长的1.5倍,宏观设计变量的离散材料插值模型惩罚系数pMA取为3(式(4)),RAMP惩罚系数q取为4。本文考虑由相同基材料构成的具有不同微结构构型的多孔材料,基材料的力学性能杨氏模量为1×107Pa,质量密度为1 kg/m3,泊松比为0.3。优化过程的终止条件设置为目标函数的相对改变量小于10-4或迭代步数达到500步。

4.1 两端固支梁基频最大化双尺度优化设计

本算例考虑两端固支悬臂梁的双尺度结构与材料一体化优化设计。设计域的尺寸及边界条件如图3所示,在结构的中心施加大小为1 kg的集中质量。图3所示的宏观结构及考虑的微结构单胞均采用结构化正方形双线性平面应力单元进行离散,宏观结构的网格密度为40×320,微结构的网格密度为80×80。微结构单胞的可设计连接区域在水平及竖直方向的宽度均设置为包含六层设计变量。

图3 两端固支梁基频最大化双尺度设计问题Fig.3 Two-scale clamped beam design problem targeting maximizing the fundamental frequency

在优化过程起始阶段,为区分不同多孔材料,本文采用如图4所示的带有椭圆形夹杂的微结构构型作为多孔材料微结构的初始设计,其中椭圆形内部的单元相对密度取为0.3,椭圆形外部单元的相对密度取为0.7,椭圆形主轴沿π/(m+1),…,mπ/(m+1)角度排布(其中,m为设计问题包含的多孔材料数目)。

图4 含三种多孔材料设计问题的微结构初始构型Fig.4 Adopted microstructure initial designs in a design problem with three lattice materials

两端固支双尺度梁结构基频最大化优化设计如图5所示,优化过程在437次迭代后达到收敛,优化设计的一阶振动频率为84.96 rad/s。从图5(a)可以看出,宏观优化设计中三种多孔材料均彼此相连。因微结构初始设计彼此对称,多孔材料1与多孔材料3沿设计域的水平及竖直对称轴对称分布。从图5(a)右侧的多孔材料微结构优化设计构型可以看出,各多孔材料微结构内的主要传力路径与其在宏观尺度构成的杆件方向基本一致。图5(b,c)给出了三种多孔材料微结构设计沿水平方向及竖直方向的连接性,因采用可设计连接区域方法,三种多孔材料的微结构具有良好的连接性。优化设计的前两阶自由振动模态如图6所示。

图5 含三种多孔材料的两端固支双尺度梁结构基频最大化拓扑优化设计以及微结构优化设计在水平和竖直方向的连接性Fig.5 Optimized two-scale clamped beam design with three lattice materials maximizing the fundamental frequency,connectivity of the optimized microstructures in the horizontal and vertical direction

图6 图5(a)所示含三种多孔材料的两端固支梁优化设计的前两阶自由振动模态Fig.6 First two orders of eigenmodes of the optimized clamped beam with three lattice materials as shown in Fig.5(a)

4.2 两端简支梁基频最大化双尺度优化设计

本算例考虑两端简支梁的基频最大化双尺度优化设计。设计域的维度及边界条件如图7所示,在结构的底边中心点施加大小为1 kg的集中质量。采用与4.1节相同的宏/微观尺度有限元网格离散方案。微结构单胞的可设计连接区域在水平及竖直方向的宽度均设置为包含六层设计变量。

图7 两端简支梁基频最大化双尺度设计问题Fig.7 Two-scale simply supported beam design problem targeting maximizing the fundamental frequency

图8 设计情况1对应的两端简支双尺度梁结构基频最大化拓扑优化设计,微结构优化设计在水平及竖直方向的连接性Fig.8 Optimized two-scale simply supported beam design with three lattice materials maximizing the fundamental frequency corresponding to the design scenario 1,connectivity of the opti-mized microstructures in the horizontal and vertical direction

5 结 论

本文研究了包含多种多孔材料的双尺度梁结构一阶自由振动频率最大化的拓扑优化设计问题。采用微结构单胞可设计连接区域方法,通过在不同多孔材料微结构单胞边界设置可设计连接区域,实现通过优化求解确定不同微结构构型及其相互连接形式。通过结合离散材料插值模型与RAMP插值模型,提出了宏观尺度的各向异性多材料刚度及质量插值及拓扑描述模型,同时降低结构振动优化问题中局部模态的影响。通过数值算例研究发现,采用微结构可连接区域设计方法,在获得的基频最大化双尺度结构设计中,均获得了具有良好连接性的微结构构型,有效增强了双尺度结构拓扑优化设计的可制造性。