考虑参数不确定性的非线性梁随机振动分析

吴鹏辉, 肖 进, 王纪磊, 赵 岩*,3

(1.大连理工大学 工程力学系,大连 116023;2.北京宇航系统工程研究所,北京 100076;3.大连理工大学宁波研究院,宁波 315016)

1 引言

在工程问题研究中,机械结构和系统的振动响应分析一般采用线性模型和线性求解方法。线性模型的模态分析、谐波响应分析和随机振动分析已得到广泛使用,且均在商业软件中得到实现。然而,在很多实际情况下,线性分析方法无法对一些实验结果进行解释,必须采用非线性模型来描述。为了能够更准确地对非线性系统进行建模和分析,并解决相关的问题,科研人员发展了各种理论和方法。Volterra级数法是其中应用较为广泛的方法之一,其广泛应用于机械工程、电子工程、通信工程和生物医学工程等诸多工程领域的非线性系统建模和辨识[1,2]。非线性系统通常表现出更加复杂的力学行为,如在简谐载荷作用下,非线性系统在频域响应结果中会表现出超谐波、次谐波和互调干扰等现象;而在随机载荷激励下也有刚度硬化和刚度软化等现象。与系统受宽带激励相比,实际系统更多时候受到的激励为窄带随机激励,研究发现非线性系统在窄带激励作用下会产生更多令人感兴趣的现象[3]。

对于非线性系统的随机振动分析,应用较为广泛的是基于矩等效的线性化方法,但矩等效方法只能保证积分等效,在功率谱响应预测上会给出不恰当的分析结果[4]。在实际应用上,从频域直接进行非线性系统的谱分析具有极大的吸引力,线性系统的随机振动谱分析理论框架已经十分完善,相比之下,由于非线性系统的本质困难,直接针对非线性系统的频域响应研究还不是很多。针对上述研究背景,本文基于Volterra级数理论和蒙特卡洛抽样方法开展了具有不确定参数非线性梁随机振动功率谱分析方法研究。

2 结构动力学方程和广义频响函数

2.1 结构模型描述与动力学微分方程

梁是工程结构中比较常用的一类典型结构件。以受随机惯性加速度载荷作用的具有弹性边界条件几何非线性非理想边界梁为研究对象,开展结果随机振动功率谱密度分析。采用Nayfeh[5]提出的梁模型方程,如图1所示,动力学微分方程为

图1 具有弹性边界非线性梁模型Fig.1 Nonlinear beam model

(1)

(∀x∈[0,l](2)

式中u为梁的轴向位移。由于本文的梁结构和其所受激励均为对称布置,因此梁的竖向位移w也是对称的,为了简化计算,可以只研究梁的一半。

对式(1)引入边界条件并变换到模态坐标下,定义模态集合为N,可以得到梁的中部竖向位移w(l)在模态坐标下的表达形式w(l)=∑wi,详细的理论推导可以参见文献[6]。

wjwkwm=Γiaf(t)

(∀i∈N)

(3)

式中

(4)

(5)

式(4)中,Yi可以写为

(6)

本文研究的频率范围在200 Hz之内,梁结构的一阶模态起主要作用,即N={1},则梁的动力学方程(3)最终可以简化为

(7)

2.2 广义频响函数

广义频响函数GFRF(Generalized frequency response function)是Volterra级数理论中的一个重要概念,其可以像线性系统的频响函数一样表征非线性系统的频响特性。广义频响函数的求解方法可以大致分为两类,一类是解析方法,即通过非线性系统的解析表达直接求解;另一类则是辨识方法,即通过系统的输入输出数据辨识系统的广义频响函数。针对本文系统的动力学模型,可以采用解析方法求解广义频响函数。

在广义频响函数的解析方法中,增长指数法[7]是一种形式简洁的方法,该方法可以根据系统方程的奇偶性简化运算。增长指数法的核心原理是假设输入信号是指定数目的不同增长指数之和;通过对系统进行动力学响应求解,再将求解得到的输出信号进行同指数的归类,最终可得到欲求的各阶广义频响函数。与传统完全基于时域分析的直接积分方法相比,该方法可在保证计算精度的前提下显著提高计算效率。

用输入函数和输出函数的幂级数替换原函数,假设输入为

(8)

并假设输出为

(9)

将式(8,9)代入动力学微分方程,求解各阶G函数,

(10)

通过使相同的指数系数相等,并令λn=iωn,即可得到待求对称广义频响函数的线性方程组,

(11)

应用增长指数法,推导方程(7)的前3阶广义频响函数,得到

(12)

3 基于Volterra级数非线性梁随机振动响应功率谱分析

3.1 基于Volterra级数的功率谱分析

在任意的t时刻下,线性系统受输入x(t)产生的响应y(t)可以用杜哈梅积分表示

(13)

式中h(τ)为描述系统受到单位脉冲产生响应的函数,称为脉冲响应函数。脉冲响应函数h(τ)和频响函数H(ω)构成傅里叶变换对,即

(14)

式(14)广泛用于线性系统的动力学响应分析中。

Volterra将式(13)进行了扩展[8],上述思想应用于非线性系统。此时,非线性系统响应表示为无穷级数,即

x(t-τ1)…x(t-τn)dτ1…dτn

(15)

式中hn(τ1,…,τn)称为Volterra核,是脉冲响应函数的广义化函数;频域上的Volterra核函数称为广义频响函数[7],对应的频域表达为

Y(ω)=Y1(ω)+Y2(ω)+Y3(ω)+…=H1(ω)X(ω)+

X(ω1)X(ω2)X(ω-ω1-ω2)dω1dω2

(16)

式中H2和H3为广义频响函数,是与线性系统类似的理论框架描述,n阶脉冲响应函数hn(τ1,…,τn)和n阶广义频响函数Hn(ω1,…,ωn)构成多维傅里叶变换对,即

(17)

将y(t1)和y(t2)分别按照式(15)进行Volterra级数展开,则响应y(t)的自相关函数可表示为

(18)

(19)

借助于广义脉冲响应函数,响应的多维部分自相关函数可以表示为

hn(τm+1,…,τm+n)dτ1…dτm+n

(20)

(21)

对式(20)进行傅里叶变换,得到多维部分自功率谱密度函数,即

(22)

(23)

当m+n为偶数时,式(22)可进一步转化为

(24)

SXX(ωi)δ(ωi+ωj)

(25)

则式(24)可进一步转化为

(26)

最后,通过积分可以将多维谱转换为物理功率谱,

δ(ω-ωm+1-…-ωm+n)dω1…dωm+n

(27)

Volterra是无穷级数,其收敛性判别是一个亟待解决的问题,仍然较难回答[10]。本文暂不对此问题进行研究,仅用截断的Volterra级数近似表示。则功率谱密度的Volterra级数表达为

SYY(ω)=SY1Y1(ω)+SY2Y2(ω)+SY3Y3(ω)+

SY3Y1(ω)+SY1Y3(ω)+o(ω)

(28)

式中SY2Y2(ω),SY3Y3(ω)以及更高阶项可以采用留数定理或数值积分进行计算求解,本文采用数值积分方法进行计算[11]。

3.2 考虑参数认知不确定性的非线性梁响应分析

当非线性系统的某些系统参数包含认知不确定性时,可以使用随机方法研究模型参数不确定性的传播。随机不确定度量化通常采用概率相关的方法,蒙特卡洛方法MC(Monte Carlo)是一种简单通用的抽样方法。该方法通过构造随机参数并从已知的空间中进行抽样,得到大量抽样结果,之后对抽样结果进行计算分析,最终获取随机变量的统计信息。

考虑到结构的加工制造常受到加工装备与人为因素的影响,实际生产出的各种产品,其材料属性和尺寸参数都存在不确定性,本文考虑非线性梁的弹性模量E和梁的长度L服从有界高斯随机分布,即

(29)

(30)

(31)

基于MC方法,非线性梁响应功率谱的期望可以表达为

(32)

(33)

4 数值算例

研究对象为本文描述的梁模型(图1),相关物理参数列入表1。梁受的加速度功率谱如图2所示,该功率谱分别位于50 Hz和100 Hz处的两个峰。其中,位于50 Hz处的峰值更大一些,这是由于50 Hz处接近非线性梁的一阶固有频率,如此构造是为了更好地激起结构的非线性特性。而在100 Hz设计峰则是为了表明本文方法适合于任意形状的输入功率谱。

图2 输入功率谱Fig.2 Input power spectral density

表1 非线性梁的物理和几何参数Tab.1 Physical and geometric parameters of nonlinear beam

为了验证本文方法的正确性并体现该方法在非线性随机振动分析上的优势,计算了弹性模量E和梁长L的变异系数均为5%时单个样本下的分析结果,并将Volterra级数的计算结果与龙格库塔计算50个样本响应曲线再利用周期图法做功率谱估计方法RK(Runge-Kutta method)进行了对比,结果如图3所示。

图3 两种方法计算响应功率谱比较Fig.3 Comparison of PSD response using different methods

图3中Volterra级数的计算时间为1.89 s,RK方法的计算时间为20.78 s,对于功率谱分析,本文方法在计算效率上具有极大的优势。Volte-rra级数作为一种解析方法得到的功率谱比RK方法更光滑,也可称为理论功率谱的直接分析方法。

由于功率谱是频域能量分布的描述,为了对比Volterra级数方法和RK方法的相对误差,给出了如下定义,

R=abs(AVolterra-ARK)/ARK

(34)

式中AVolterra和ARK分别为两种方法计算得到的功率谱面积。图3对应的相对误差R为4.06%。

对随机结构进行分析,利用Volterra级数计算了1000组随机参数下的响应功率谱曲线(弹性模量E和梁长L的变异系数为5%),如图4所示。可以看出,相比于输入功率谱在50 Hz和100 Hz左右的功率谱峰,在响应功率谱150 Hz左右也出现了一个峰值,这个频率在系统输入中找不到对应的峰值,因此这个峰是由非线性引起的。还可以看出,由非线性梁模型的弹性模量E和梁的长度L产生的不确定性,会使梁的位移响应功率谱峰值在频率上发生偏移。

图4 响应功率谱样本曲线Fig.4 Curve of the samples of response PSD

图5 不同变异条件下响应功率谱的均值和标准差Fig.5 Mean and standard deviation of response PSD under different variation conditions

5 结 论

本文在考虑模型参数认知不确定性的前提下,基于Volterra级数理论和MC抽样方法,对非线性梁模型的随机振动响应功率谱进行了分析,计算了结构响应功率谱的均值和方差。Volterra级数作为频域内的计算方法,其计算速度较时域积分的RK方法具有更好的效率。本文方法为研究参数不确定性对结构响应功率谱的影响提供一定的依据。