基于能量耗散分析的混凝土随机疲劳损伤模型

虢成功, 李 杰

(同济大学 土木工程学院,上海 200092)

1 引言

混凝土结构在其生命周期中会历经数百万次的疲劳荷载作用,研究其在疲劳荷载作用下的力学性能退化和损伤累积具有重要的理论价值和工程意义。经典的疲劳研究方法可以大致分为三类。首先是SN曲线方法[1,2],学者们通过大量试验获得混凝土材料在恒定应力下的疲劳寿命,并基于试验数据经验拟合给出相应应力水平下疲劳寿命的表达。由于试验数据离散性巨大,实际应用中也有学者引入概率统计给出一定保证率的疲劳寿命[3]。该方法应用简单,但针对不同等级混凝土和不同应力水平需要进行大量试验,其适用范围十分受限。此外,疲劳试验往往是在较简单的加载工况下进行的,能否直接应用于复杂应力状态也是存疑的。第二种方法是基于Paris公式及其改进形式的研究[4,5]。该公式形式简洁,主要用于研究单一裂纹在疲劳荷载作用下的扩展问题。混凝土材料的疲劳破坏是由于多条裂纹同时扩展并伴随有裂纹间的相互作用和应力重分布过程,导致Paris公式在混凝土疲劳领域适用性也有限。第三种是基于损伤力学的疲劳损伤模型[6-8]。损伤变量可以很好描述混凝土由于多裂纹扩展导致的材料性能退化,这一类方法可以重现疲劳荷载作用下的混凝土材料性能劣化直至破坏的过程。但目前疲劳损伤模型中最重要的损伤演化法则目前还是靠理性假设或经验拟合,对疲劳损伤的物理机理没有进一步的解释。同时,经典的疲劳损伤模型无法反映疲劳寿命离散性。结合上述分析,本文基于微-细观随机断裂模型(MMSF)[9]分析了MMSF中微弹簧的多尺度耗能过程,在此基础上发展了具有物理机理的混凝土随机损伤模型。

2 双标量弹塑性损伤力学框架

基于应变等效假定[10],可以将损伤从有效应力空间剥离,弹塑性应力应变关系记为

(1)

考虑到混凝土拉压力学行为的显著差异,引入有效应力的正负分解:

(2)

(3)

投影算子P±记为

(4)

式中σi和n(i)分别为有效应力张量的第i个特征值和对应的特征向量,H(·)为Heaviside函数。

引入Helmholtz自由能表征由损伤引起的能量耗散不可逆过程,

(5)

为了考虑材料受力过程中出现的不可恢复变形,将初始Helmholtz自由能分解为弹性部分和塑性部分[11,12],

(6)

(7)

材料损伤过程和塑性流动都是不可逆的热力学过程,需要满足Clausius-Duhem不等式:

(8)

将式(5)关于时间微分代入式(8),即可获得混凝土损伤本构关系

(9)

此外,损伤变量和塑性变量的演化需要满足相应不等式

(10,11)

式中Y为损伤能释放率,q为塑性内应变组成的向量。

为避免数值计算中在塑性子空间和损伤子空间相互迭代造成的计算量过大的问题,本文引入了经验塑性变形[13]简化计算

(12)

文献[12]选用Drucker-Prager型势函数求取塑性应变,最终得到Y的显示表达为

(13)

在确定性损伤理论中,类比于塑性力学中的屈服面,引入了损伤面描述三维空间中的损伤发展。令G(Y)为损伤面,损伤演化准则为

(14)

由于该准则不能在损伤面内引发进一步损伤,所以并不适用疲劳加载。文献[7]提出将加卸载不可逆条件作为损伤准则可以解决上述问题。

(15)

3 微弹簧的纳-微观耗能过程

3.1 微-细观随机断裂模型

根据随机介质和随机损伤[9,14]的研究,可以将混凝土代表性体积单元抽象成并联弹簧束,用微弹簧的随机断裂表征混凝土随机的损伤演化,随机损伤表达记为

(16)

式中εe±为单轴弹性应变,Δ±(x)为一维断裂应变随机场,x为微弹簧的空间坐标。

通常假设断裂应变随机场的一维分布为对数正态分布,令Z±(x)=lnΔ±(x),其均值为λ±,标准差为ζ±。随机场的相关结构用指数型相关函数描述,

(17)

文献[15]利用大量试验数据识别给出了不同混凝土等级对应的具体分布参数。该模型能同时反映混凝土受力过程中出现的非线性和随机性特点,但由于缺乏反映随疲劳加载而累积的信息量,该模型不能直接应用于疲劳加载。

3.2 疲劳累积能量耗散描述

为了将该模型拓展至适用于疲劳加载,将每个微弹簧视为一个能量耗散单元[7],考虑疲劳荷载作用下每个循环的能量累积耗散,认为当累积耗能Ef超过其弹性应变能Es时,微弹簧断裂,式(16)改写为

(18)

疲劳损伤的本质是小尺度裂纹在疲劳荷载作用下不断扩展、聚合形成更大尺度裂纹的过程。在纳观尺度,裂纹的扩展可视为裂尖原子键的断裂(图1)。原子在外力和热激励作用下持续在平衡位置附近振动,在某一些位置,原子有可能拉到离平衡位置比较远的地方,从而超过临界位置,导致断裂。这一类问题可以类比能量势垒跨越过程,本文引入速率过程理论予以表征。速率过程理论认为在外部激励下,少数位于势阱底部的粒子能够吸收足够的能量跨越一定高度的能量势垒,从而对应裂纹的扩展。

图1 能量势垒跨越过程Fig.1 Energy barrier crossing process

考虑一各向同性扩展的平面裂纹,由线弹性断裂力学可知,纳观裂纹扩展单位距离δa的耗能ΔQ为[16]

(19)

在损伤力学框架下,有与δa对应的一个损伤增量δd,能量耗散记为ΔQd。由于损伤和断裂是同一物理过程的不同描述,两个耗能值应该相等[7],即

(20)

式中Vd为损伤体积,Y为损伤能释放率。

裂纹扩展速率可以记为

(21)

式中f为由速率过程理论定义的净势垒跨越频率[16]。

(22)

式中k为Boltzmann常数,h为Planck常数,T为绝对温度,Q0为能量势垒高度。

(23)

与微弹簧对应的微观单元包含的裂纹数量可以用裂纹层级模型[16]描述。这一模型假定一个微观单元中包含大量的低一个尺度的次级裂纹,次级裂纹又由更低一个尺度的裂纹汇聚而成,且各尺度的裂纹存在自相似特性。假设从纳观尺度到微观尺度一共存在s个层级,每一层级含有ni个裂纹,则裂纹总数N可以表示为

N=n1n2…ns

(24)

由各尺度裂纹存在自相似的假定可以推导得出各层级的裂纹数满足裂纹驱动力的幂律形式[7,16]

ni=Yqi

(25)

将式(25)代回式(24),可得耗能单元从纳观到微观尺度的裂纹总数为

(26)

随着疲劳加载的进行,微裂纹密度逐渐增大,邻近微裂纹的张开、闭合会影响彼此附近的应力场分布,可以将其视为裂纹间的相互作用。文献[8]将疲劳荷载作用下裂纹扩展并逐渐聚合成大尺度裂纹的过程称为损伤扩展效应,而基体中未水化颗粒与自由水发生水化反应后会使得一部分微孔隙得到填充称为损伤愈合效应。受此启发,本文引入包含这两类效应的损伤因子来修正微弹簧的疲劳累积能量耗散,疲劳损伤因子记为

h(D)=e-θ1D+e-θ2(1-D)

(27)

式中θ1和θ2为模型参数。

由于纳观裂纹的形状和长度各异,总累积耗能的计算可以采用统计平均的方式取代表值表示为

(28)

由此,式(18)的疲劳耗能表达可以写为

(29)

4 模型验证

4.1 单轴受压

图2 单轴受压疲劳模拟Fig.2 Fatigue simulation under uniaxial compression

4.2 单轴受拉

图3 单轴受压疲劳模拟Fig.3 Fatigue simulation under uniaxial compression

4.3 SN曲线

图4 单轴加载SN曲线Fig.4 SN curves under uniaxial loading cases

图5 不同加载疲劳的SN曲线Fig.5 SN curves under different loading frequencies

5 结 论

本文基于速率过程理论和裂纹层级模型分析了微-细观随机断裂模型中微弹簧的纳-微观耗能过程,建立了微弹簧的多尺度疲劳耗能表达。进一步引入疲劳损伤因子考虑裂纹间的相互影响来修正疲劳耗能,建立了随机疲劳损伤演化法则。数值模拟的结果显示提出的模型能很好地反映混凝土在疲劳荷载作用下的主要力学行为,包括疲劳损伤典型的三阶段特点、疲劳荷载作用下累积应变的变化趋势及疲劳寿命的随机性和SN曲线随加载频率的变化趋势。