基于可视化视角下“复数几何意义”教学再设计

朱梦婷 李楷尼 李文静 丁文文

【摘要】文章从复数的几何意义出发对复数教学再设计，辅以信息技术手段，给学生呈现生动形象的数学直观.最后以学生熟悉的万花尺引入复数的应用，以期让学生在繁复美丽的万花尺图案中领悟复数在其中的关键作用，体会生活中无处不在的复数.

【关键词】复数；几何意义；旋转；可视化

【基金项目】安徽省质量工程教学研究项目（2020jyxm1671）；安徽省教学研究项目（2020jyxm1691）；安徽省省级教学师范课程（2020SJJXSFK2169）；淮北师范大学校级课程团队建设项目（kctdj18043）；淮北师范大学教学研究校级重点项目（2018jyxm01）

一、高中数学课程标准“复数”内容的变革

《普通高中数学课程标准（2003年版）》明确了高中数学学习的目标：“理解引入复数的必要性”“了解数系的扩充”“掌握复数的表示、运算”“复数的几何意义”.与此同时，高中数学经历了大范围的删除难、繁、偏、旧等内容，以及增加新内容的课程体系变革，在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，复数的三角表示这一内容被作为选修内容加入.

二、国内外教材复数章节对比

许多学者对国内外教材中复数内容进行了对比和研究，提出了教学中值得借鉴的建议.如彭艳贵在《“中国”“美国”“新加坡”“英国”“澳大利亚”高中数学课程标准复数内容比较研究》一文中提到中国教材知识点少，没有涉及“复数的应用”“复数的欧拉定理”“代数学基本定理”等反映深入复数概念的有关知识点.

三、合理利用信息技术辅助课堂

信息技术在数学课堂中的应用十分广泛，但是在复数课堂中却很少应用.一些学者评论说，中学课程不应忽视学生掌握复数的机会.如今，可视化被认为是推理证明、解决问题的关键组成部分.历史相似性理论指出，数学概念的历史发展过程与学生对数学概念的认知过程存在一定的相似性，数学家历经三百年才接受“虚无缥缈”的虚数，学生妄想在短短45分钟的传统讲授就理解本质，这是无法实现的.但如果在课堂中借助信息技术手段，这一无法实现的目标就能够轻松实现.

四、高中数学复数内容的教学再设计

（一）结合数学史，引入复数

設计意图：在高考的导向下，高中课堂忽视了复数的几何意义而注重公式技巧的运用.希腊学者通过问卷调查，对希腊95名高中生进行复数学习方法的调查.结果表明，几何方法被更频繁地使用，而代数方法被更一致和系统地使用.

（三）复数与旋转

设计意图：复数联系着众多数学知识，当把i看作旋转90°时，能够帮助学生直观理解x2=-1是怎么变换得到.通过多方面的复数特征性内容帮助学生深入认识和掌握复数概念，有助于学生灵活运用所学知识，培养创新能力.

（四）复数与跨学科应用

师；复数的应用无处不在，同学们小时候玩过万花尺吗？

生：玩过！可以画出很多美丽的图案.

师：简单的万花尺竟然能画出如此美妙的图案，大家知道这是什么曲线吗？这其实就是内旋轮线的轨迹方程，借助复数旋转，可以帮助我们轻松求出轨迹方程.当然这也涉及物理中所学习的角速度和线速度的知识.

原来万花尺绘制的美丽图案最终还是归于数学轨迹，数学的应用在生活中无处不在.

设计意图：从学生接触过的万花尺入手，符合学生的认知水平.而其中的内旋轮线虽然学生并未学过，但是其中的线速度角速度等知识在物理学科中均有涉及.将数学教学与其他教学学科相结合是非常重要的，学生通过联想类比等思维方式学习数学知识，因此数学应该在适当的情况下被情境化.

结 语

文章从高中数学课程标准“复数”内容的变革和国内外教材复数章节对比等角度，针对不同学者的建议对复数章节教学进行再设计，使学习者厘清复数概念，从“实”到“虚”，同时采用信息技术进行数学“实验”，让学生从扁平的书本中窥见多姿多彩的数学世界.在教学过程中，教师应重点训练学生的数学迁移能力，既要联系向量、指数等数学知识，从多角度认识复数的几何意义，又要跨越学科的壁垒，拓宽复数的应用范围.

【参考文献】

[1]吕松涛，曹广福.高中向量教学中数学思想的渗透[J].数学教育学报，2021（04）：19-24.

[2]彭艳贵.“中国”“美国”“新加坡”“英国”“澳大利亚”高中数学课程标准复数内容比较研究[J].数学教育学报，2019（01）：49-54.

[3]吕天玺，王光明.基于数学核心素养的“复数”教学设计[J].数学通报，2018（06）：39-43.