极限思想在小学数学教学中的渗透

武开萍

【摘要】极限思想是一种运用极限概念解决与分析问题的数学推理思想，将其合理地渗透到小学数学教学之中，不但有利于学生逻辑思维能力的发散，对学生数学学习水平的提升与数学核心素养的发展同样具有积极的促进作用.鉴于此，文章便结合小学数学教学实例，对在数学概念建构、数学公式推导、数学问题解决中渗透极限思想的数学教学方法展开探究.

【关键词】极限思想；小学数学；数学教学

在数学教学中渗透数学思想方法是现代小学数学教学的流行趋势，也是开发数学学科育人价值，落实培养学生数学核心素养教育任务的重要手段之一.因此，为让数学思想方法成为保障学生长足发展、终身发展的关键思想武器，小学数学教师就必须要抓好渗透数学思想的教学契机，促成学生良好数学应用实践意识的形成.

一、极限思想在数学概念建构中的渗透

数学概念是小学数学教学中最为基础的教学内容，也是学生实现深度数学学习的重要奠基.因此，为让学生在深度把握数学概念、透彻领会极限思想在数学学习过程中所起到的突出作用的同时，建构起完善的数学知识体系，小学数学教师必须要把握好数学概念建构中极限思想的渗透契机，为学生的发展数学核心素养夯实基础.

如在引导五年级学生学习“可能性”这一数学概念时，教师便可基于小学生的认知特点与思维习惯为学生设计“摸球游戏”，并将极限思想渗透到游戏活动之中，以此让学生在充分理解可能性这一概念的基础上，学会运用极限思想探究与分析数学知识.

教师为学生展示一个不透明的空纸箱与若干个大小一致的红、蓝小球.首先，当着学生的面将5个红色小球放置于纸箱中，并向学生提问：“你们认为从盒子里取出的球是什么颜色的球？如果向盒子里继续加入红色小球，你们认为拿出来的小球是什么颜色的小球？为什么？”以此来调动学生的学习积极性，激活学生的数学思维.此时，学生便会笃定拿出来的小球一定是红色小球，因为盒子里没有其他颜色的小球，摸出红色小球的概率是100%.

其次，教师将3个蓝色小球放进纸箱中，让学生思考：如果拿出来一个小球，这个小球的颜色是红色还是蓝色？哪个颜色的概率更大？为什么？并鼓励学生动手实践，让学生通过多次摸球的方式验证“摸出红球可能性更大”这一猜想.教师再向学生提问：“如果想要增加摸出蓝球的概率，减少红球的概率，可以怎么做？”发散学生的思维，促使学生主动提出“增加纸箱中蓝色小球的数量”或“减少纸箱中红色小球的数量”等假设，并自发地展开动手实践与操作进行假设的验证.通过实践操作与探究分析，学生便会发现：不断增加纸箱中蓝色小球的数量或减少纸箱中红色小球的数量，可增大摸出蓝色小球的可能性：当纸箱中蓝色小球与红色小球的数量相等时，摸出蓝色小球与摸出红色小球的可能性相等，均是50%；當纸箱中蓝色小球的数量远远大于红色小球数量时，摸出蓝色小球的可能性便会无限趋近于100%，但始终不会达到100%.届时，教师便可见缝插针地向学生渗透极限思想，让学生领会到不断增加纸箱中蓝球的数量（n→∞），使得摸出篮球的可能性越来越大，但始终不会达到100%，即摸到蓝球的概率无限趋近于1；减少纸箱中红球的数量（n→0），使得摸出红球的可能性逐渐从大于50%减少到等于50%再低于50%，但始终不会是0，即摸到红球的概率无限趋近于0.

最后，教师便可在学生“摸球游戏”活动结束后，鼓励学生在课堂中表达自己的学习感想与心得，促使学生在观点、思维、见解的碰撞中迸发出智慧的火花，实现对可能性这一数学概念的充分领会与感知.此后，教师再为学生提供黑白双色的围棋棋子，让学生结合从“摸球游戏”中所获得的知识经验与思想方法利用围棋棋子设计公平的数学游戏，从而在进一步加深学生对“可能性”这一数学概念的认识理解，促使学生形成良好的极限思想应用意识.

二、极限思想在数学公式推导中的渗透

小学生掌握并运用数学公式是提升数学学习效率的关键，也是学生合理分析数学问题与正确解决数学问题的核心所在.但在当前的小学数学教学中，多数教师会将数学公式一股脑地灌输给学生，忽视了学生对数学公式的自主分析、自主推导，这就使得极易出现学生对数学公式认识不彻底、应用不灵活等问题，严重限制与阻碍了学生数学学习水平的提升与数学解题效率的提高.因此，为在核心素养视域下有效改善这一明显问题，小学数学教师便可将极限思想巧妙地渗透到抽象的数学公式推导之中，让学生通过自主推理、合理分析的方式实现对数学公式进行有效梳理，在有效加深学生对数学公式的印象与记忆的同时，促使学生逻辑思维能力、极限意识以及终身学习能力进一步的发展提升.

以“圆”的教学为例，教师可将极限思想渗透到“圆的面积”公式教学之中，逐步引领学生展开公式的自主推导，促使学生在推导公式的过程中感知无限趋近的极限思想.

一方面，可在刘徽的“割圆术”中渗透极限思想.

首先，教师根据学生的学习水平与思维能力将学生划分成若干个学习小组，让学生用圆规在A4纸上画出一个半径为10cm的圆，并在这个圆中尽可能大地画内接正方形（图1），让学生通过测量这一内接正方形边长的方式计算出正方形的面积，并思考这一内接正方形与圆面积之间的关系，使学生认识到内接正方形的面积趋近于圆的面积，但不等于圆的面积；其次，教师可设置探究性问题：圆内接正多边形边数越多，正多边形就越接近圆的面积吗？引发学生的探讨与分析，促使学生以小组合作的形式画边数更多的正多边形（图2），通过观察圆内正多边形学生认识到：随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的面积就越接近圆的面积.当正多边形边数无限多时（n→∞），圆内正多边形面积便近似于圆的面积；最后，由于小学生能力水平存在的局限性，教师可利用多媒体设备为学生展示通过内接正多边形的方式推导出圆面积计算公式的视频短片，为学生创设直观的教学情境，促使学生由此感受到逐步无限趋近的极限思想的魅力，建立起良好的无限观念与空间观念，从而对数学知识的学习生成浓厚兴趣与探究欲望.

另一方面，教师可以教材为基准，将极限思想渗透到将圆分割、拼接为平行四边形的方法之中.

教师向学生提问：“平行四边形与梯形面积的公式是如何推导的？”引发学生对已有知识经验的回顾与反思，促使其主动提出“将圆转化为已知图形”的想法.随后，教师便可鼓励学生将自己所绘制的圆进行八等分，通过拼接八个由圆分出的等面积扇形认识到可将圆转化为平行四边形（图3），并让学生想一想：是否圆的等分份数越多，所拼出的图形就接近平行四边形？以来驱动学生通过折纸、剪拼等实际操作的方式认识到：圆等分的份数越多，所拼出的图形就越近似平行四边形，并且这一平行四边形的面积无限接近原来的圆的面积（图4）.

无论是在“割圆术”中，还是将圆转化为平行四边形，学生均在无意识下运用了“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思想.并且，通过观察与实践“有限分割”，学生也会充分发挥自身的想象力，展开“无限分割”的联想，并根据图形的变化趋势感知到图形的最终形态.如此，不但能够让学生顺利推导出圆的面积计算公式，也能够让学生在亲历“有限”到“无限”再到“极限”的过程中体悟到极限思想的价值与魅力，在后续的圆柱与圆锥面积、体积计算公式的学习中，学生便会自然而然地迁移运用这一思想方法尝试自主推导，数学学习效率与数学思维能力便在潜移默化中得到了提升.

三、极限思想在数学问题解决中的渗透

培养学生解决问题能力是《义务教育数学课程标准（2022年版）》对我国基础教育阶段小学数学课程教学明确提出的教学要求，同样是小学生通过学习数学知识所需发展与形成的关键能力、必备素质.但由于小学生的认知水平与思维能力受于自身年龄的限制而存在发展相对较缓的状况，这就使得多数学生在实际解决数学问题的过程中通常会出现解题思维不活跃、解题策略不灵活、解题方法不变通等问题，进而严重限制了学生数学问题解决效率与水平的提升.因此，为在新时期的小学数学教学中，更为有效地扭转这一形势，小学数学教师就可从锻炼学生解题思维入手，将极限思想合理地融入学生的问题解决过程之中，以此来让学生的思维更加活泛、更加发散，促使学生能够在后续的数学学习中一针见血地找出、找准问题的关键.

并在学生自主计算后，向学生提问“这些异分母加法算式有什么特点？算式的和有什么特点？”以此将学生的目光与思维更好地聚焦在分数算式的特点与规律的发现上.在问题的引导下，学生便会在经过小组讨论或自主思考后得到“以上这些分数加法，每个分数的分子都是1，而后一个分数的分母则是前一个分数分母的两倍.这些分数的和也越来越大.”

在上述解題过程中，不但学生的计算能力得到了锻炼，思维能力也会在数形结合思想与极限思想的交互作用下得到了发散.

总 结

在小学数学教学中渗透极限思想不可避免地会受到小学生认知水平低、思维发展缓等因素的限制.因此，为更好保证学生数学核心素养的稳步发展，促进学生思维能力的有效进阶，小学数学教师就必须要有“敢于上蜀道、登青天”的拼搏精神与顽强不屈的意志，从积极开发小学数学教材内容入手，抓住渗透极限思想的有利时机，以此来让极限思想更好地融入学生数学知识的学习之中、数学问题的解决之中，促使学生在数学思想方法熏陶与浸润下实现可持续性的全面发展.

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