基于贝叶斯统计的汽车电子器件寿命分析

刘岳　欧阳英图　叶雯

摘 要：加速寿命试验是利用加速应力水平下的寿命特征去外推评估正常应力水平下的寿命特征的试验技术。针对在汽车智能化发展中起着重要作用的汽车电子器件，本文将服从对数正态分布的样本在步进应力加速寿命试验中的统计分析结合贝叶斯统计推断，得出了基于贝叶斯统计的加速寿命试验统计分析方法，从而实现了对汽车电子器件的寿命估计。本文通过有机发光二极管的案例应用，验证了贝叶斯对数正态分布加速寿命试验统计分析方法的可行性和有效性，对相关理论研究和工程试验的开展具有借鉴意义。

关键词：汽车电子产品 寿命分析 加速寿命试验 贝叶斯统计推断

1 绪论

随着汽车电气化乃至智能化的发展，汽车电子器件在车身各关键设备上的应用日渐广泛[1]。汽车电子器件的工作状态、功能、寿命与汽车的正常行驶息息相关，若出现问题，轻则造成财产损失，重则造成人员伤亡。因此，对汽车电子器件进行寿命分析，具有重大的实际意义。

1.1 加速寿命试验与加速模型

为了快速地暴露产品的薄弱环节，在较高应力下以更短的试验时间推断正常应力下的寿命特征，常采取加速寿命试验（Life Accelerated Testing，ALT）。即在失效機理不变的基础上，通过加速模型，利用加速应力水平下的寿命特征去外推评估正常应力水平下的寿命特征的试验技术。加速寿命试验方法因其可缩短试验时间、提高试验效率、降低试验成本等优势已经被广泛应用于各类工程实际问题之中[2]。

为了能够利用ALT中搜集到的产品寿命信息外推产品在正常应力条件下的寿命特征，必须建立产品寿命特征与加速应力水平之间的关系，即加速模型。常用的加速模型分为物理模型和统计模型，具体有阿伦尼斯模型、艾琳模型、广义艾琳模型、冲蚀磨损模型、逆幂律模型、Coffin-Manson模型、Norris-Landzberg模型等[3]。

ALT的统计分析是通过估计寿命分布函数的参数和确定加速模型的参数，从而外推评估正常应力水平S0下的寿命特征。

1.2 贝叶斯理论

在工程和实际试验中，对于待估计参数常常会有一定的现有经验和信息，为了利用好这一部分信息，同时通过新的数据对已有信息进行更新，则常用贝叶斯统计方法[4]进行统计推断。

p（θ|y）称为后验密度函数；p（θ）称为先验密度函数；m（y）是数据的边沿密度函数；f（y|θ）是数据的抽样密度函数。

由于汽车为批量生产的产品，因此其电子器件也具有相当多的历史信息，故采用基于贝叶斯统计ALT分析，能够更准确地评估汽车电子器件寿命，并对产品已有信息进行更新。

2 基于贝叶斯统计的ALT分析方法

2.1 基本假设

以对数正态分布场合下的步进应力加速寿命试验（Step-Stress Accelerated Life Testing， SSALT）为例，试验数据的统计分析是在以下四个假定下进行的[2]。

假设1：在正常应力水平S0和k个加速应力水平S1

式中，?为对数均值，σ2为对数方差。

其分布函数为

假设2：产品在加速应力水平S1

假设3：产品的某寿命特征ξ与施加的应力水平Si有如下的对数线性关系

在对数正态分布中我们用中位寿命e?来表征寿命特征，所以常用的加速模型例如阿伦尼斯模型、逆幂律模型、指数率模型的加速模型表达式为

假设4：产品的残余寿命仅依赖于已累积失效的部分和当时的应力水平，而与累积方式无关（Nelson累积失效假定）。

2.2 假设检验

假设检验是指根据样本提供的信息来推断总体特性的某些假设是否成立，步骤如下：

1.提出原假设H0：即需要检验的假设内容；

2.引进统计量：根据H0的内容选取合适的统计量；

3.确定统计量的精确分布或渐近分布；

4.根据观测到的样本值算出统计量的值；

5.确定适当的显著性水平α；

6.根据统计量分布，由显著性水平确定临界点P{统计量计算值>Kα}=α

现针对基本假设1和2做分布检验和参数检验。

2.2.1 寿命分布的假设检验

分布检验针对基本假设1，使用正态分布偏峰度检验[2]进行对数正态分布分布检验。

偏度描述分布密度函数的对称程度，分布密度越对称，偏度越小；峰度描述分布密度函数的陡峭程度，分布密度越陡峭，峰度越大。偏度和峰度分别定义为

式中，?3为三阶中心矩，?4为四阶中心矩，σ2为方差。以正态分布为例，由于正态分布N（?，σ2）的偏度为0，峰度为3，因此可以通过样本偏度和峰度是否接近0和3来判断数据是否服从正态分布，具体判断方法如下：

1）偏度检验

检验原假设H0：Cs=0，即原假设认为分布密度函数是对称的，若偏度Cs估计的绝对值超过它的1-α分位数，则在显著水平α下拒绝原假设，检验统计量|Cs|的1-α分位数可查表[5]得到，偏度检验适用于样本量n≥8。

2）峰度检验

3）检验原假设H0：Ce=3，即原假设认为分布密度函数是对称的，若Ce大于3，则说明峰度过度，这时备择假设H1：Ce>3，若Ce小于3，则说明峰度不足，这时备择假设H1：Ce<3，峰度检验适用于样本量n≥8。其中统计量Ce的临界值可查[5]得到。

2.2.2 形状参数相等的假设检验

形状参数检验目的是确认加速应力是否改变了产品的失效机理，该检验针对基本假设2。

对于对数正态分布，可以把形状参数的检验问题转化成方差一致性的检验问题[6]。对于假设检验

根据试验数据用最好线性无偏估计（BLUE）计算σi的估计值。构造巴特利特检验统计量，即

式中，lri，ni为的方差系数。则在H0成立下，B2/C近似的服从自由度为K-1的χ2分布，给定显著性水平?，若，拒绝H0；否则接受H0。

2.3 特征数据的统计分析

2.3.1 数据折算

在应力水平Si下，产品工作ti时间内累积失效的概率Fi（ti）相当于此种产品在Sj下工作tj时间内累积失效的概率Fj（tj）[2]。由假设2，可得在应力水平Si下的工作时间τi折算到应力水平Sj下的折算时间τij为

记a1=0，。则产品在Si下的真实寿命数据为

其中b为假设3中加速方程：中的待估参数；φ（Si）为已知函数，记为φi。即在每一个应力水平Si下，ri个失效产品的折算寿命为

式中：;，除外，它们都是b的函数。

2.3.2 贝叶斯统计推断

联立寿命分布和加速模型：

得下式：

可知，待估参数为a、b、σ。

1）确定先验分布

进行贝叶斯统计推断的第一步是为待估参数确定先验分布。根据待估参数的先验信息的多少，可分为无信息先验分布和有信息先验分布。

a）无信息先验分布

若试验前有关待估参数a、b、σ的信息相对较少，可以假设其先验分布为均匀分布，例如：a～U[x1， y1]，b～U[x2， y2]，σ～U[x3，y3]；xi，yi的取值可由现有信息、经验决定。确定无信息先验分布的方法还有Jeffrey法则[7]等。

b）有信息先验分布

若试验前有比较充足的关于待估参数的先验信息时，可根据先验信息确定先验分布。常见的先验信息主要来源于：物理/化学理论、仿真分析、工程试验和质量控制测试结果、一些通用的可靠性数据、相似产品信息以及专家经验。

确定有信息先验分布的方法[8]主要有：直方图法、选定先验密度分布函数形式再估计其超参数、变分读法与定分度法以及多层先验等。

2）观测数据先验分布的更新

先验分布p（θ）代表了试验前对待估参数的初始估计。在得到数据后，可以利用“新的信息”对先验分布进行更新，得到后验分布。根据贝叶斯定理，后验分布是由似然函数和先验分布相乘得到的。

后验分布似然函数×先验分布

在本文中，似然函数即

具体计算是由马尔科夫链蒙特卡罗（MCMC）算法得出[9]：通过模拟的方法直接从后验分布中生成参数向量的仿真样本，基于样本进行后续统计推断。

在本文算例中，具体计算通过WinBUGS软件实现。在WinBUGS中输入三个参数的先验分布、似然函数，以及试验失效数据，运行后能够给出参数的仿真样本，即一系列服从对应的后验分布的a、b、σ的值。

3）分位寿命的计算

第三步則是通过估计参数计算出分位寿命tp=f（a，b，p），可分为点估计和区间估计。

a）点估计

主要有三种方法：一是极大后验密度估计（maximum a posteriori estimate， MAP），即后验密度函数取极大值处相应的待估参数值；二是取参数的后验均值；三是取参数的后验中位数。通过点估计得到a，b的值后，即可计算出分位寿命tp。

b）区间估计

区间估计时可以通过a， b的样本值，两两配对各算出一个分位寿命——tp=f（a，b，p）；然后对其取置信区间即可（例如，取置信度为α的置信区间，则除去tp取值中前α/2和后α/2的取值，所得的[tpmin， tpmax]即为置信区间）。

3 案例分析

本文借鉴文献[10]中的案例和试验数据进行贝叶斯对数正态步进ALT统计分析。

试验对象采用汽车电子器件——有机发光二极管（Organic Light-Emitting Diode， OLED）。对于OLED，影响其寿命的主要因素是电流，因而选择电流为加速应力进行分析。根据试验设计要求，在对OLED电子产品进行试验阶段，施加的应力，即电流，应该介于最大应力和最小应力中，且最大应力不应该超过极限应力，并且所施加的应力水平由目前的制造技术可以达到。考虑到试验时长与成本，采用SSALT。此外，随着电流的增大，不能够对OLED电子产品引发新的失效机理。OLED电子产品的失效判据为：当OLED的亮度降低到原亮度的50%以下时，认为这个样本失效，并记录相应的失效时间。

3.1 基本假设

进行SSALT试验数据的统计分析的基本假设同2.1节。其中，在对数正态分布中用中位寿命来表征寿命特征，本文中的应力为电流，所以选择逆幂律模型作为加速模型：

3.2 数据折算处理

1.原始数据

试验中一共投入了32个样本进行试验，假定正常的工作条件中，应力I0=3.20mA。在SSALT中选择了四个应力水平，分别为：I1=9.64mA，I2=12.36mA，I3=17.09mA，I4=22.58mA，在每个应力水平下收集八个失效数据，示意图如图1，试验数据记录如表1。

对数据进行折算：

其中，τji为加速因子，且，β=-1.8154，，，。将所有的数据折算到应力为I1的水平。

3.3 基于贝叶斯的SSALT统计分析

将寿命分布的模型、先验信息以及折算数据导入到winbugs中进行求解，求解的结果如图２所示。

通过winbugs的求解，得到参数a和b的贝叶斯估计，即后验样本值，代入到寿命分布函数中即可计算在正常应力下的各种寿命指标的估计。

显然，0.5分位寿命是参数a和b的函数，即t0.5=（a，b）；每一组a，b可以计算一个p=0.5的分位寿命，取均值，得到0.5分位寿命t0.5=24100h。

先对参数a和b进行点估计，常用的方法有众数/平均数和中位数。

众数：求得a和b的众数，带入到寿命分布中，得到相关的分位寿命，t0.5=20647h，这个结果和分位寿命均值的结果有所差异，通过分析a和b的概率密度函数（如图3）可知原因为：参数a和b通过数据的迭代会逐渐向着最终的分布形式过渡，但是由于目前的试验数据较少，概率密度函数都还具有均匀分布和正态分布的特点，因而处于过渡阶段。

平均数：求得a和b的平均数，带入到寿命分布中，得到相关的分位寿命t0.5=16400h；

中位数：求得a和b的中位数，带入到寿命分布中，得到相关的分位寿命t0.5=16200h；

0.5分位点寿命的置信区间：对于winbugs生成的参数a和b的后验样本，带入寿命分布函数中求解一组0.5分位点的寿命值t0.5，对这些t0.5进行分布拟合，可以得到如图4的概率密度函数。

相应地，根据置信区间的计算方法，可以得到置信度为0.9的t0.5的置信区间为[3639.1041， 76083.1355]。

4 总结

本文针对汽车电子器件，介绍了基于贝叶斯统计推断的对数正态步进应力加速寿命试验统计分析方法。利用已有历史数据的信息，同时通过新的数据对已有信息进行更新；结合加速寿命试验统计分析方法，对服从对数正态的汽车电子器件寿命进行了点估计及区间估计。通过案例应用，验证了该方法的可行性和有效性。同时，基于贝叶斯统计推断的对数正态步进应力加速寿命试验统计分析方法也可以进一步推广应用于各类加速寿命试验统计分析中，对工程应用具有指导意义。

项目资助：

湖南省教育厅科学研究项目，项目编号21C1659

湖南省自然基金科教联合项目，项目编号2022JJ60113。

参考文献：

[1]李莉. 基于售后数据的汽车电子元器件寿命分布估计研究[J]. 甘肅科技， 2021， 37（6）：2.

[2]赵宇. 可靠性数据分析[M]. 国防工业出版社， 2011.

[3]Nelson W. Accelerated Testing： Statistical Models， Test Plans， and Data Analysis[M].  2008.

[4]王婧， 鲍贵. 贝叶斯统计与传统统计方法的比较[J]. 统计与决策， 2021（037-001）.

[5]李良巧. 可靠性工程师手册[M]. 中国人民大学出版社， 2012.

[6]程琮，范华， Levene方差齐性检验. 中国卫生统计， 2005. 22（6）： p. 408-408.

[7]Tiao， G. C.， and G. E. P. Box. Some Comments on "Bayes" Estimators. American Statistician 27.1. 1973. pp：12-14.

[8]柴慧敏， 赵昀瑶， 方敏. 利用先验正态分布的贝叶斯网络参数学习[J]. 系统工程与电子技术， 2018， 40（10）：6.

[9]Hamada， Michael S.， et al. Bayesian Reliability. Bayesian reliability. Springer， 2008.

[10]Zhang J， Cheng G， Xiao C， et al. Accelerated life test of white OLED based on lognormal distribution[J]. Indian Journal of Pure and Applied Physics. 2014， 52（10）：671-677.