弹着点对钢筋混凝土侵彻深度的影响*

2023-10-20黄成龙陈叶青李述涛王振清

应用数学和力学 2023年9期

黄成龙, 陈叶青, 李述涛, 张生, 王振清

(1. 哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院, 哈尔滨 150001;2. 军事科学院国防工程研究院, 北京 100036)

0 引言

钢筋混凝土结构广泛用于房屋、桥梁、码头、大坝等民用领域和遮弹层、兵营等军用领域,其抗侵彻性能长期以来是各国国防防护工程方面的一个研究重点,其中弹体侵彻深度是评价钢筋混凝土结构抗侵彻性能的一项重要指标．国内外学者也建立了各种适用范围的混凝土侵彻深度公式[1-8],因其使用方便,目前世界各国有关防护结构的设计手册和实际防护工程设计中均采用侵彻深度公式．然而,各个侵彻深度公式在相同工况下计算结果往往存在较大区别[9-10],目前的侵彻深度公式主要分为纯经验公式和半经验半理论公式两类,都需要利用试验数据拟合或修正公式中的参数,其中著名的Young公式也多次根据试验进行过修正[10]．试验结果也有一定的离散性,弹着点位置的不同是造成此离散性的主要原因之一．

因实际试验过程中弹着点位置难以控制,现有研究主要从理论和数值模拟这两个方面进行．在理论研究方面,2000年前,通常将钢筋混凝土等效为强度增强的均匀混凝土介质,或等效为混凝土与钢板的层状结构[11],均未考虑弹着点位置对侵彻深度的影响．欧阳春等[12]在国内侵彻问题研究中首次考虑了弹丸直接与钢筋发生碰撞的侵彻阻力,在球形空腔膨胀模型的基础上,建立了弹丸垂直侵彻钢筋混凝土介质的工程分析模型,这标志着从理论上研究弹着点位置影响弹丸侵彻能力的开端．穆朝民等[13]针对弹丸命中钢筋交汇处的情况,在欧阳春等[12]研究的基础上分析了不同配筋结构、配筋尺寸、网眼尺寸对侵彻深度和侵彻过程的影响,阐明了配筋直径和网眼尺寸对侵彻深度的影响较大．在数值模拟研究方面,楼建锋等[14]采用AUTODYN中的Lagrange算法,分析了三种典型弹着点对动能弹侵彻性能的影响,研究表明,弹着点对动能弹侵彻能力有较大影响,其中弹丸击中钢筋交叉点穿过靶板后的剩余速度最小．孙其然等[15]运用LS-DYNA软件研究了三种典型弹着点对侵彻结果的影响,指出在低配筋率下弹着点位置对弹丸终点性能影响有限,但高配筋率下影响将加剧．程毅等[16]利用ANSYS/LS-DYNA对动能弹侵彻钢筋混凝土靶进行数值模拟,定量分析了含筋率和弹着点对靶板抗侵彻性能的影响,结果表明,含筋率为3%时,靶板抗侵彻性能在三种弹着点位置之间可达到10%的偏差．

从以上研究可知,弹着点位置对钢筋混凝土侵彻深度有较大的影响,但现有考虑弹着点位置影响的数值模拟研究以钢筋混凝土薄靶、中厚靶的侵彻/贯穿问题为主[17],对于较厚的钢筋混凝土靶板侵彻问题研究还较少．除此之外,目前的钢筋混凝土侵彻深度公式都未考虑弹着点位置对侵彻深度的影响,现有弹着点问题研究无法弥补侵彻深度公式在这方面的不足．故本次研究以厚靶板的侵彻问题为出发点,对弹体侵彻钢筋混凝土靶进行数值模拟,研究了弹着点位置和弹径与钢筋网眼尺寸之比对钢筋混凝土侵彻深度的影响,对比分析了不同弹着点位置侵彻过程的机理,设计并计算了一系列钢筋网眼尺寸大小的模拟工况,给出了弹径与钢筋网眼尺寸比值对侵深影响的表达式,对侵彻深度计算公式的进一步完善与发展,指导钢筋混凝土防护工程设计都具有重要意义．

1 全尺寸模型

弹体侵彻钢筋混凝土的试验成本高,且实际试验过程中弹着点位置难以精准控制,在这种情况下使用数值模拟开展弹着点位置对侵彻深度的影响研究是一种比较理想的手段．Young[1]对原型试验和比例模型试验的侵彻效应进行了分析对比,提出侵彻试验的缩比大于1/4～1/3时,才能得到较为可信的试验结果,为保证数值模型的准确性,本文参考文献[18]中的大尺寸试验,建立了1∶1全尺寸模型来进行研究．

1.1 模型介绍

邓勇军等[18]开展的弹体侵彻钢筋混凝土大尺寸试验中,其中一典型工况下,弹体以650 m/s初速度侵彻靶体．图1给出了模拟此工况的全尺寸模型,因弹体着靶速度小于1 000 m/s时可视为刚性弹侵彻[19],弹体采用刚体模型,弹体为截卵形弹,弹长464.88 mm,弹径为156mm,长径比为2.98,弹体质量为32.51 kg,弹体内部有空心区域,弹体模型具体尺寸如图1(a)所示．靶体中混凝土和钢筋采用分离式建模,并通过耦合方式(*CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID)使两者相互作用[20]．混凝土采用K&C模型[21],靶体长、宽、厚分别为2 500 mm,2 500 mm和1 800 mm,根据门建兵等[22]的研究结果:靶体在弹径范围内划分6个网格便可满足计算精度要求,于是对靶体中心正方柱体区域(1 000 mm×1 000 mm)进行了精细化网格划分,其余区域使用稀疏网格以提高计算效率,如图1(b)所示．靶体中钢筋采用弹塑性硬化模型[15],钢筋直径为10 mm,钢筋网眼尺寸为100 mm×100 mm,弹着点位置处于钢筋网眼中点,在厚度方向有9层钢筋网平行布置,层间距为200 mm,并垂直布置了16根直径为10 mm的钢筋将9层钢筋网连接起来,如图1(c)、1(d)所示．弹塑性硬化模型见式(1)—(3),K&C模型见式(4)—(7),弹体、钢筋和混凝土材料模型参数见表1和表2,表2中的α为长度单位转换因子,β为应力单位换算系数．

(a) 弹体模型 (b) 靶体模型(a) The projectile model (b) The target model

1.1.1 弹塑性硬化模型[23-24]

此模型分为两段,如图2所示．第一段为弹性段,此阶段直线斜率等于弹性模量E,应力-应变关系为

图2 弹塑性硬化模型应力-应变图Fig. 2 The stress-strain relationship of the elastoplastic hardening model

σ=Eε,

(1)

式中,σ为应力,ε为应变．第二段为塑性段,此阶段直线斜率等于切线模量Et,应力-应变关系为

(2)

(3)

1.1.2 K&C模型[21,25-26]

此模型能模拟峰后软化(或脆性断裂)、剪胀、侧限效应和应变率效益等混凝土的关键力学行为[26],其破坏面函数为

(4)

(5)

(6)

(7)

式中,I1为应力张量第一不变量,描述体积响应;J2,J3为剪应力张量第二、第三不变量,描述剪切响应;r(J3)为偏平面形状函数;Δσy表示初始屈服面,Δσm表示最大屈服面,Δσr表示为残余屈服面,a0i,a1i,a2i为各屈服面参数;p=-I1/3为静水压;η(0≤η≤1)为损伤参数λ的函数．该模型可以自动生成参数,使用时只需输入密度、Poisson比、单轴抗压强度即可自动生成材料模型的其他参数,本文参考文献[18]中参数输入K&C模型的参数,并采用*MAT_ADD_EROSION定义材料失效[27]．

1.2 模型验证

图3给出了靶体破坏情况的试验[18]和模拟结果对比,试验靶体表面成坑直径为150 cm,数值模型靶体表面成坑直径为145 cm,与试验值误差为3.33%,成坑区域面积相近,靶体正面部分裂缝扩展较为相似,如图3(a)所示;由于钢筋与混凝土之间的界面属于薄弱区[18],靶体侧面在钢筋层位置出现较大裂缝,靶体数值模型侧面破坏与试验宏观破坏现象相符较好,如图3(b)所示;同时,前两层钢筋向外弯曲或破坏,钢筋数值模型损伤形态与试验有着类似的现象,如图3(c)所示．

(a) 靶体正面损伤对比(a) Comparison of target frontal damages

图4给出了数值模型计算的侵彻深度(h)的时程图,数值计算侵彻深度为1 113 mm,与侵彻深度试验值(1 120 mm)误差为0.63%,吻合良好．此外,为验证网格无关性,建立了靶体全区域采用精细化网格(如图5所示)的计算工况来进行对比．全区域精细化网格靶体计算工况的侵彻深度为1 190 mm,与中心区域精细化网格模型(如图1(b)所示)相比,侵彻深度之间误差为6.92%,差别较小,但计算时长增加了十多个小时．因此,在后续数值计算中均采用中心区域精细化网格模型．

以上验证说明了数值模型和材料参数的可靠性,在此基础上,我们使用该数值模型研究不同弹着点位置对侵彻深度的影响．

2 弹着点对侵彻深度的影响

根据相关研究[13-16],弹着点位置对弹体侵彻过程有较大影响,典型的弹着点位置分为三类:钢筋网眼中点、钢筋交叉点、钢筋侧边中点(如图6所示)．现有研究中弹体直径都小于钢筋网眼尺寸,认为在弹体击中钢筋网眼中点时,弹体与钢筋不会直接接触,靶体中钢筋只能通过约束混凝土来对弹体产生间接阻力．因此在以往研究中,弹体击中钢筋网眼中点时侵彻得最深,或贯穿靶体后剩余速度最大;弹体击中钢筋交叉点时侵彻深度最浅,或贯穿靶体后剩余速度最小;弹体击中钢筋侧边中点时介于前两者之间．然而,本次数值模型中的弹体直径大于钢筋网眼尺寸,得到了与以往研究不同的结论,下面将详细说明与分析．

2.1 计算结果

图7给出了三种典型弹着点位置下弹体侵彻过程的位移(xp)、速度(vp)和加速度(ap)的时程图．表3给出了三种典型弹着点位置侵彻深度计算结果,可见弹体击中钢筋网眼中点时侵彻深度(1 113 mm)最浅,而弹体击中钢筋交叉点时侵彻深度(1 149 mm)最深,弹体击中钢筋侧边中点时侵彻深度(1 117 mm)介于前两者之间．在前两种弹着点位置情况下,计算得到的侵彻深度大小关系与以往研究恰好相反．

表3 侵彻深度计算结果

(a) 弹体位移时程图(a) Projectile displacement time histories

2.2 讨论与分析

由图7可见,三种典型弹着点位置的弹体位移和速度时程图在3.1 ms之前基本重合,而弹体加速度时程存在较明显差别,将三种典型弹着点位置的3.1 ms前弹体加速度曲线截取出进行深入分析,如图8所示．

(a) 钢筋交叉点和网眼中点情况下加速度峰值 (b) 钢筋侧边中点情况下加速度峰值(a) Peak accelerations at the rebar grid midpoint (b) Peak accelerations at the rebar side midpoint and the rebar crossing point图8 3.1 ms前弹体加速度时程图Fig. 8 Projectile acceleration time histories before 3.1 ms

根据图8(a),在0.15 ms,0.52 ms,0.97 ms和1.65 ms时,弹体击中钢筋交叉点出现明显的加速度“尖峰”;而在0.28 ms,0.65 ms,1.18 ms和1.95 ms时,弹体击中钢筋网眼中点出现明显的加速度“尖峰”．根据图8(b),在0.15 ms,0.28 ms,0.52 ms,0.67 ms,0.95 ms,1.10 ms,1.62 ms和1.89 ms时,弹体击中钢筋侧边中点出现明显的加速度“尖峰”,其中在0.15 ms,0.52 ms,0.95 ms和1.62 ms时的加速度“尖峰”时刻与钢筋交叉点情况下的非常相近,几乎同时出现,其余时刻则与钢筋网眼中点情况相近．

图9—11给出了上述加速度“尖峰”时刻对应的弹体位置以及弹体与钢筋相互作用过程,其中弹体与钢筋相互作用过程以弹体撞击第三层钢筋网为典例分析,撞击其他层钢筋网与之类似．

(a) 加速度峰值时刻弹体位置(a) Projectile positions at the peaks of acceleration

根据图9—11,可以发现这些时刻下的弹体都恰好和钢筋正在接触,说明加速度“尖峰”是弹体与钢筋碰撞时出现的加速度突变．再结合图8可知:在0.15 ms,0.52 ms,0.97 ms和1.65 ms附近时,弹体击中钢筋交叉点情况下,弹尖部位同时撞击两根钢筋(如图9(b)中t=0.97 ms时所示),因此加速度峰值最大且突变最剧烈．此时,弹体击中侧边中点情况下,弹尖部位正撞击一根钢筋(如图11(b)中t=0.97 ms时所示),因此加速度峰值较小且突变也更轻微;而此时,弹体撞击钢筋网眼中点情况下,弹头部位还未直接接触到钢筋,钢筋只能通过约束混凝土对弹体提供间接阻力,因此未出现明显的加速度峰值和突变．在0.28 ms,0.65 ms,1.18 ms和1.95 ms附近时,弹体击中钢筋网眼中点情况下,弹头侧面同时撞击四根钢筋(如图10 (b)中t=1.18 ms时所示),因此加速度峰值最大且突变最剧烈．此时,弹体击中侧边中点情况下,弹尖部位撞击的钢筋已经完全断裂,但弹头侧面又开始与其他两根钢筋接触(如图11(b)中t=1.12 ms时所示),因此加速度峰值较小且突变也更轻微;而此时,弹体撞击钢筋交叉点情况下,弹头部位撞击的钢筋已经完全断裂(如图9 (b)中t=1.12 ms时所示),断裂的钢筋无法造成弹体加速度突变,并且弹体四周未断裂的钢筋无法与弹体直接接触,因此未出现明显的加速度峰值和突变．

(a) 加速度峰值时刻弹体位置(a) Projectile positions at the peaks of acceleration

通过比较图9(b)、图10(b)和图11(b)可知:钢筋交叉点情况下交叉的两根钢筋会被弹体撞至完全断裂,钢筋断裂后失去轴向约束,对弹体的阻滞作用微弱可忽略[18],弹体与钢筋网从接触到这层钢筋完全断裂耗时约0.15 ms;钢筋网眼中点情况下与弹体直接接触的钢筋不会完全失效,直至弹头完全穿过这层钢筋网之前均能提供较强的阻滞作用,弹体与钢筋网从接触到弹头完全穿过这层钢筋网耗时约0.5 ms,提供阻滞作用的时间是前者的3倍多;而对于钢筋侧边中点情况,则分为两个阶段,第一阶段与钢筋交叉点类似,与弹尖直接接触的钢筋会在0.09 ms时间内被撞至完全断裂,第二阶段与钢筋网眼中点类似,直至弹头完全穿过这层钢筋网之前均能提供较强的阻滞作用．除了图8标出的加速度“尖峰”时刻外,由于钢筋的持续阻滞作用,弹体击中钢筋网眼中点和钢筋侧边中点这两种情况还存在量值较大的加速度“尖峰”,如图8(a)中1.18～1.65 ms之间的黑色和蓝色加速度“尖峰”．

综上所述,对于以往研究中[13-16]弹体直径小于钢筋网眼尺寸这种情形,由于弹体击中钢筋网眼中点时不会与钢筋直接接触,弹体侵彻深度必然有如下关系:钢筋网眼中点>钢筋侧边中点>钢筋交叉点;而对于弹体直径大于钢筋网眼尺寸这种情形,由于弹体击中钢筋网眼中点时也会与钢筋直接接触,而且是与四根钢筋接触,接触钢筋的持续时间相比钢筋交叉点情况下更长,弹体击中钢筋网眼中点侵彻深度最浅,而击中钢筋交叉点侵彻深度反倒最深,击中钢筋侧边中点仍旧处于前两者之间．因此,弹体撞击钢筋的数目和弹体接触钢筋的持续时间是三种典型弹着点侵彻深度不同的主要原因．除此之外,关于钢筋网眼中点和钢筋交叉点这两种情况的侵彻深度大小关系,弹径与钢筋网眼尺寸之比对其有着重要影响,下节中将进一步研究这个问题．

3 弹径与钢筋网眼尺寸比值对侵深的影响

本节在第1节的数值模型基础上设计了一系列数值模拟工况,用来研究弹径与钢筋网眼尺寸比值对侵深的影响．同时,结合数值计算结果拟合出了弹径与钢筋网眼尺寸比值对侵深影响的表达式和归纳侵彻深度离散性的表达式,并设计了三组计算工况对表达式合理性进行验证．

3.1 计算结果

为了保证计算结果的可对比性,设计工况仅改变钢筋网眼尺寸大小(即钢筋网的排列间距),数值模型的其他尺寸与材料参数均保持不变,设置的钢筋网眼尺寸有200 mm,150 mm,100 mm,80 mm,70 mm,60 mm,50 mm,40 mm,34 mm和30 mm(其中100 mm为原始模型的钢筋间距),分别对应的弹径与钢筋网眼尺寸比值为0.78,1.04,1.56,1.95,2.23,2.60,3.12,3.90,4.59和5.20,计算结果见表4,其中d为弹体直径,D为钢筋网眼尺寸大小,μ为靶体体积含筋率,difference value为钢筋网眼中点侵彻深度减去钢筋交叉点侵彻深度的差值．在2.2小节中,研究出了弹径无论是大于还是小于钢筋网眼尺寸,弹体击中钢筋侧边中点这种情况的侵彻深度均介于其他两种弹着点情况侵彻深度之间．因此,弹体击中钢筋网眼中点和钢筋交叉点这两种弹着点位置属于极端弹着点情况,这两种情况下的侵彻深度差值能反映出由弹着点导致的侵彻深度离散性,两者侵彻深度差值列于表4中．

根据表4,可归纳出以下几点规律:

① 在同一钢筋网眼尺寸、同一弹径与网眼尺寸比值、同一体积含筋率下,弹体击中钢筋网眼中点和击中钢筋交叉点的侵彻深度有一定差别,这一差别在d/D<2.23时较大,在d/D≥2.23时较小．

② 当弹体直径小于钢筋网眼尺寸时,弹体击中钢筋网眼中点和击中钢筋交叉点这两种极端弹着点情况侵彻深度有确定的大小关系:钢筋网眼中点>钢筋交叉点．当弹体直径大于钢筋网眼尺寸时,这两种极端弹着点情况侵彻深度的大小关系反复发生转变．

③ 因d/D增大,钢筋排布越紧密,靶体体积含筋率越大,所以侵彻深度随着d/D增大而减小．

3.2 讨论与分析

图12为根据表4中数据得到的侵彻深度与d/D的关系图,能更加直观地看到侵彻深度随着d/D的增大而减小,以及弹体击中钢筋网眼中点和击中钢筋交叉点这两种弹着点情况下侵彻深度大小关系的反复波动性．考虑到实际试验中很难恰好命中钢筋网眼中点和钢筋交叉点,命中位置极大概率分布在其他位置,即试验得到的侵彻深度值与这两种极端弹着点情况的侵彻深度平均值更加接近,因此将这两种极端弹着点情况侵彻深度求得的平均值曲线绘制于图12中．

图12 侵彻深度与d/D的关系图13 无量纲表达式拟合曲线Fig. 12 Relationships between the penetration depth and d/D Fig. 13 The fitting curve of the dimensionless expression

根据量纲分析,可得到H/d-d/D对应关系的无量纲表达式:

(8)

式中,H为侵彻深度平均值,a,b为待定参数．根据表4中数据,将H/d-d/D一一对应的关键点绘于图13中,并通过式(8)进行回归分析得到a=7.99,b=-0.3,其中拟合关系式(9)的可决系数R2=0.98,表明此关系式与关键点的拟合优度较高,能较好地反映弹径与钢筋网眼尺寸比值对侵彻深度的影响:

(9)

进一步地,为研究这两种极端弹着点情况侵彻深度大小关系的反复波动性,将图12中各侵彻深度均除以与之对应的侵彻深度平均值,可得到归一化侵彻深度与d/D的关系,如图14所示．

当黑色线取值大于1时,说明钢筋网眼中点侵深大于钢筋交叉点侵深;当黑色线取值小于1时,说明钢筋网眼中点侵深小于钢筋交叉点侵深;对于红色线,与前述反之．此波动规律类似于三角函数的变化规律,并且弹着点击中钢筋网眼中点和钢筋交叉点的关系曲线恰好关于y=1对称,因此可以进行如下无量纲表达式推导:

① 弹体击中钢筋网眼中点

(10)

式中,hM为弹体击中钢筋网眼中点侵彻深度值,k,l,m,n为待定参数．

② 弹体击中钢筋交叉点

(11)

式中,hC为弹体击中钢筋网眼中点侵彻深度值,k,l,m,n为待定参数．

将图14中的关键点绘于图15中,分别通过式(10)和(11)进行回归分析, 得到k=0.06,l=-1.55,m=3.15,n=-0.85,其中拟合关系式的可决系数R2=0.96,表明此关系式与关键点的拟合优度较高,能较好地反映这两种极端弹着点情况侵彻深度大小关系的反复波动性,波动周期为40π/63．当hM>hC时,hC≤H≤hM;当hC>hM时,hM≤H≤hC,即

(12)

式(12)归纳了弹着点位置对侵彻深度造成的离散性,以及此离散性随d/D的变化规律．

综上所述,可得到如下结论:

1) 弹体击中钢筋网眼中点和击中钢筋交叉点的侵彻深度差别大小随着d/D的增大而减小,其大小关系的波动周期为40π/63;

2) 弹体侵彻钢筋混凝土的侵彻深度试验值并不是一个确定值,而是一个范围值,此范围值上下限由弹体击中钢筋网眼中点和击中钢筋交叉点这两种极端弹着点情况的侵彻深度决定,并且其区间大小随着d/D的增大而减小;

3) 弹着点位置对侵彻深度造成的离散性随着钢筋网眼尺寸的缩小而减小,随着d/D的增大而减小．

3.3 表达式验证

为验证以上表达式的合理性,本文设计了三组计算工况进行验证,设计的钢筋网眼尺寸有172 mm,90 mm和44 mm,分别对应的弹径与钢筋网眼尺寸比值为0.91,1.73和3.55．除了钢筋网眼尺寸以外,其余模型尺寸和参数与之前保持不变,三组验证工况的数值模拟和表达式计算结果见表5,其中simulation代表数值计算侵彻深度值,expression代表表达式计算侵彻深度值．从计算结果可以看出:表达式计算侵彻深度值与数值计算侵彻深度值误差均在6%以内,两种方法计算出来的侵彻深度大小关系一致,说明表达式能较准确地预估出这两种极端弹着点情况侵彻深度值和大小关系．