考虑挠曲电与温度效应的Mindlin-Medick板理论及其应用*

鲁 双, 李东波, 陈晶博, 席 勃

(西安建筑科技大学 理学院, 西安 710055)

0 引 言

常见的力电耦合效应,如压电效应、挠曲电效应、铁电效应、电致伸缩效应等,广泛存在于各类介电材料中．其中压电效应是最常见的一种力电耦合效应,其在俘能器[1-4]、传感器[5-6]、驱动器[7-8]等智能器件的设计中应用广泛．然而,随着纳米技术的发展,压电器件的材料制约了其进一步发展,主要表现在3个方面: 1)压电效应只存在于非中心对称晶体中; 2)随着器件的小型化和智能化,压电理论已经不能很好地解释与材料或结构尺度相关的不寻常的力电耦合现象; 3)压电器件要求其服役温度低于材料的Curie温度,进一步限制了压电器件的使用环境．相比于压电效应,挠曲电效应存在于所有的介电材料中[9],且随着材料或结构的尺寸减小,挠曲电效应会变得更加显著[10]．同时,由挠曲电材料制成的智能器件,其工作温度不受Curie温度影响．因此,挠曲电效应受到了研究人员的关注．

经典压电学理论给出了极化与均匀应变的关系,而挠曲电效应则描述了极化与非均匀应变如应变梯度之间的耦合关系[11]．1968年,Mindlin首次提出极化梯度的概念[12],成功将力电耦合效应从压电材料拓展到挠曲电材料．在Mindlin理论的基础上,Majdoub等[10,13]考虑了纳米悬臂梁对应变梯度的响应,发现挠曲电效应可以显著增强纳米结构中的俘能效率,并对纳米结构中的压电和弹性行为产生影响．Hu和Shen[14-16]提出了一种连续介质力学力电耦合理论框架,更全面地考虑了纳米电介质的挠曲电效应、表面效应和静电力,给出了详细的控制方程和边界条件,为挠曲电效应的研究提供了理论基础．关于挠曲电效应较新的综述研究可参考文献[11],其提供了更多与挠曲电效应相关的参考文献．

对挠曲电器件变形和电场行为的调控包括接触式和非接触式,其中机械调控[9,17-18]属于接触式调控,磁场[19-21]和温度场[22-26]等调控属于非接触式调控．机械调控利用施加于器件上的机械力产生应变梯度,从而产生电极化;而温度场调控则是利用热弹性效应产生应变梯度,进而产生电极化．温度效应广泛存在于挠曲电器件中,并通过热弹性效应影响其性能．Hadjesfandiari[23]通过引入高阶应变梯度,建立了非均质各向异性固体中尺寸相关的热弹性方程．Samani等[24]利用挠曲电效应和纳米梁尺寸效应的非经典理论,研究了挠曲电Timoshenko梁在热场和机械场作用下的屈曲行为．Chu等[25]综合考虑非局域效应和应变梯度效应,分析了功能梯度挠曲电纳米梁在温度场作用下的热致非线性动力学问题．前人研究的主要是一维问题,目前关于温度效应的挠曲电二维问题的成果相对较少．

近来,随着微纳米尺度二维材料的快速发展,挠曲电纳米板的器件应用也越来越广泛,例如挠曲电传感器、致动器等．本文基于挠曲电理论[27-28]和温度效应建立了Mindlin-Medick板的理论模型,综合考虑厚度伸缩变形、面内拉伸变形和对称厚度剪切变形及其耦合的挠曲电极化,分别研究了温度调控和机械调控下挠曲电纳米板的力电耦合行为,以期为挠曲电器件的设计提供参考．

1 挠曲电纳米板的数学框架

1.1 挠曲电纳米板的几何方程

考虑如图1所示的挠曲电纳米板,直角坐标系建立在板的中面上．根据Mindlin-Medick假设,将挠曲电纳米板的位移场ui(x,t)、电势场φ(x,t)和温差场θ(x,t)展开成关于厚度坐标x3的幂级数:

(1)

应变张量Sij与位移ui、应变梯度ηijk与应变Sij以及电场Ei与电势φ之间满足如下梯度关系[30]:

Sij=0.5(ui,j+uj,i),ηijk=Sij,k,Ei=-φ,i．

(2)

将式(1)代入式(2),得到相应的应变分量Sij、应变梯度分量ηijk和电场分量Ei的非零项分别为

(3)

(4)

(5)

1.2 挠曲电纳米板的Hamilton变分原理

挠曲电纳米板的应变能U、外体力fi所做的虚功δW和动能K分别为[31]

(6)

(7)

(8)

式中,Tij为应力张量,τijk为高阶应力张量,Di为电位移,Ω为挠曲电纳米板所占据的体积,dV为体积微元．

对于挠曲电纳米板,其Hamilton变分原理可表述为[32]

(9)

将式(1)、(3)—(5)代入式(6)—(8),再代入到变分表达式(9),应用变分法基本原理[33]和分部积分,得到挠曲电纳米板的场方程以及板边界Γ上的线积分等式分别为

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10e)

(10f)

(10g)

(10h)

和

(11)

式中,Γ表示围成板中面的边缘曲线,ds表示边缘曲线Γ上的线微元,变量上的点表示对时间的导数．其中n阶应力、n阶电位移、n阶高阶应力、n阶外力和n阶质量密度的定义为

(12)

1.3 挠曲电纳米矩形板的完整边界条件

挠曲电纳米板的完整边界条件可由板边界上的线积分等式(11)得到,注意到式(11)的变分项δ(·)中,在边界上关于位移或者电势的切向导数不与其法向导数独立,因此需要进一步处理变分项δ(·)中包含切向导数的项．对于图2所示的挠曲电纳米矩形板,将边界上外法线的方向余弦n1,n2代入式(11),根据变分法基本原理,得到相应的边界条件如下．

对于边界x2=0,b,其中n1=0,n2=-1(x2=0)或n2=1(x2=b):

(13)

对于边界x1=0,a,其中n2=0,n1=-1(x1=0)或n1=1(x1=a):

(14)

1.4 挠曲电纳米板的二维本构方程

取挠曲电纳米板的材料为立方晶系(m3m点群),且不考虑非局部刚度常数gijklmn和热释电系数pi,挠曲电纳米板的本构关系为[16]

Tij=cijklSkl-λijθ,τijk=-flijkEl,Di=εijEj+fijklηjkl,

(15)

式中,cijkl为弹性常数,λij为热弹性常数,fijkl为挠曲电系数,εij为介电常数．

在1.2小节中所得二维二阶板方程的表达式(10),由于忽略了位移展开式中的高阶项,必然会引起截断误差,为此,这里引入修正系数对截断误差进行修正[26]．即在应力本构式(15)的第1式中,通过应力释放进行修正,将S13,S23和S33分别替换为k1S13,k2S23和k3S33,其中k1,k2和k3为修正系数[26],且

(16)

(17)

零阶、一阶及二阶的电位移本构方程为

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

(18f)

零阶、一阶及二阶的高阶应力本构方程为

(19)

式(17)—(19)中高阶材料参数的定义为

i,j=1,2,3;p,q=1,2,…,6．

(20)

1.5 挠曲电纳米板二阶理论的控制方程

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

(21e)

(21f)

(21g)

(21h)

由式(21g)可知,一阶电势φ(1)与位移场u、电势场φ(0)和φ(2)及温差场θ(0)和θ(2)解耦,故之后的讨论不再考虑一阶电势φ(1)．

2 算 例 分 析

(22)

对于给定的边x2=0,b,相应的边界条件为

(23)

(24)

(25)

[cosξm(x0-c)-cosξm(x0+c)][cosζn(y0-d)-cosζn(y0+d)]．

(26)

(27)

式中,系数矩阵Kij为

(28)

(a) 比较θ(0)和对面内拉伸变形的影响(b) 比较θ(0)和对对称厚度剪切变形的影响(a) Comparison of the effects of θ(0) and on in-plane (b) Comparison of the effects of θ(0) and on symmetric extensional deformation

图5 θ(0)和对厚度伸缩变形的协同影响Fig. 5 Synergistic effects of θ(0) and

3 结 论

本文采用Mindlin-Medick理论和挠曲电理论,建立了挠曲电纳米板的理论模型．利用Hamilton原理求出纳米板的场方程和边界上的线积分等式,分别将二维本构方程和中面边界上外法线的方向余弦代入,得到了以基本未知量表示的挠曲电纳米板的控制方程和边界条件．然后利用双重Fourier级数解求解纳米板的位移场和电势场,分析局部热场和局部机械场对挠曲电纳米板变形和电场的影响,得到了以下结论:

1) 挠曲电纳米板上作用有局部温度载荷时,由于热胀冷缩效应,对称厚度剪切变形会加剧面内拉伸变形的程度,u1在板中面处取最小值,且沿板的厚度方向变形程度逐渐增大,最终在板的局部加载区域的上下表面处取得最大值．施加机械载荷时挠曲电纳米板表现出明显的Poisson效应,对称厚度剪切变形则会抵消一部分面内拉伸变形的效果．

2) 非接触式调控和接触式调控这两种方式为挠曲电纳米板的力电耦合行为研究提供了更多元的选择．对于考虑挠曲电效应的微纳米器件,接触式调控操作难度较大;而非接触式调控,如温度调控和磁场调控等,可操作性更强,具有很大的发展潜力．