紧跟改革步伐 探索学科融合——图形变换中的数学之美

陈 磊

(江苏省苏州市沧浪中学校 215004)

2022年4月,《义务教育数学课程标准(2022年版)》正式颁布,国内掀起新一轮教学改革浪潮．课标要求学生在七至九年级感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效,积累数学活动经验,逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养[1]．2022年12月,笔者参加了苏州市立达中学教育联盟举办的主题为“探跨学科主题学习,育全面发展时代新人”的“新时代有效教学研究”展示活动．笔者紧扣学科融合的主题,将数学和美术相融合,上了一堂公开课,让学生动手体会初中阶段学习的三种图形变换能创作出美丽的图案,实现了数学的美育价值,也让学生感受到了数学在美术创作中的作用．

1 教学实践

在数学教学中如何合理地设置“问题链”是一堂好课的关键．所谓“问题链”,指的是以学生的实际生活和思维层次为基础,根据教学的核心内容和目标精心设计,能够引领学生积极参与、深度思考的多个问题构成的问题序列,这些问题具有明显的启发性、层次性、结构性、系统性等特征[2]．对于本节课而言,图形的旋转是在学生学习了图形的平移和翻折以后学习的内容,因此在提问设置中笔者会以类比的方式启发学生下一步的研究内容．在关键的知识生成处,步步追问,引发学生思考．而在本节课的重点——图形的旋转性质生成时的提问设置,则以紧扣观察—猜想—验证—一般化的方式进行．期望学生在课堂中既有感性的认识,又有理性的分析和思考．

1.1 游戏引入,增加兴趣

问题1-1:在如图1所示的俄罗斯方块游戏画面中,我们通过什么简单变换可以消除整行方块?

图1 图2

问题1-2:如图2,游戏中新增什么图形变换功能就能使图形下落后消除整行方块?

问题2:你还记得在学习上述两类图形变换时我们研究了哪些内容吗?

设计意图在真实的俄罗斯方块游戏中是不存在翻折变换的,因此图2这个情境笔者设置的问题是“游戏中新增什么图形变换功能就能达到下落后消除整行方块?”在复习完图形的平移和翻折后,笔者带领学生回顾了在学习图形变换的过程中涉及的图形变换的定义、要素和性质．而所谓“性质”其实是图形变换这一运动中的不变性,并且研究的角度是宏观和微观两个方面,即宏观上有图形的全等,微观上研究了对应点和变换要素的关系．这些都为下面研究图形的旋转做好了铺垫．

1.2 类比旧知,探索新知

·实物操作,认识旋转

问题3:当我们遇到如图3所示的图形时,对它作什么变换可以使得下落后消除方块?

图3

追问:你能在黑板上尝试着演示一下这个旋转的过程吗?

再追问:你能用语言描述一下自己的旋转过程吗?

问题4:我们将实物抽象成一个几何图形,请同学们观看动画,类比图形平移的定义说说什么是图形的旋转.

·动画演示,解析旋转

问题5:(观看了生1的旋转过程后)其他同学的旋转结果都和他一样吗?有不同的旋转结果吗?

追问:这两位同学因什么选取的不一样而导致了旋转结果的不同?

再追问:你认为还有什么会影响旋转的结果?

设计意图图形旋转是学生新接触的知识,很多学生知道旋转但是不明确旋转的要素,此时让学生上黑板实际操作,并直接用语言描述自己的图形旋转的行为,学生能说出绕着哪个点、按照什么方向、转过了多少角度．这正是无意中说出了图形旋转的定义,同时也明确了图形旋转的三要素,很好地引出了新知．让第二位学生上黑板演示不同的旋转结果可以让学生归纳影响旋转结果的三个要素．

问题6:我们研究了旋转的定义和要素,接下来研究什么呢?

问题7:你能根据前面学习的图形的平移和翻折的性质,直接说出图形旋转的一条性质吗?

问题8:这显然是从宏观角度观察到了旋转运动中的不变性,类比图形的翻折(从微观角度),接下来我们要研究什么呢?(研究对应点和旋转的要素间的关系)

问题9:请同学们观察图4的旋转动画过程,找出旋转过程中的旋转中心和各组对应点．

图4 图5 图6 图7

问题9-1:当我们把一组对应点和旋转中心相连,你有什么发现?(如图5,分别将对应点M,N和旋转中心O相连)

问题9-2:若我们把图4中其他组对应点和旋转中心相连,你有类似的发现吗?

问题9-3:你还能找到另一组对应点吗?此时你会怎么做,你又有什么发现呢?(图6)

问题9-4:通过以上三位同学的发现,你能猜想出旋转的性质吗?(图7)

问题9-5:对于图形其他的旋转情况,任取一组对应点,上述性质仍然成立吗?

设计意图显然,图形旋转前后全等．而旋转的其他性质,由于前面铺垫了要研究对应点和旋转要素的关系,我们也能很顺畅地把一组对应点和旋转中心连起来,让学生进行探索,教师通过几何画板度量长度和角度的工具进一步印证学生的发现(对应点到旋转中心的距离相等、两组对应点与旋转中心连线形成的角相等)．值得注意的是,课堂上只是选取了三组对应点,猜想到了旋转的其他两条性质．为了严谨,笔者在几何画板中对该图旋转了任意一个角度,也让学生通过任取一组对应点和旋转中心相连,观察刚刚发现的两条猜想是否仍然成立(图8、图9),这是把结论从特殊推广到一般的十分重要的过程．

图8

图9

1.3 学科融合,彰显主题

学生学完了这三种图形变换,就可以通过这些变换将单一图形变得丰富而优美．事实上,生活中的很多设计都是采用了其中一种或多种图形变换．例如,当我们画好了一个简笔画小鲸鱼,对它作翻折变换,可以得到如图10的图形．当我们改变变换的要素即对称轴,可以得到如图11、图12的不同效果．在旋转变换中,改变旋转的角度,也会有不同的美,如图13和图14．

图10 图11 图12

图13 图14

在创作阶段,鼓励学生大胆尝试．先让学生将自己喜欢的单一图形在普通A4纸上画好,通过透明纸的复制功能,很快可以在透明纸上描出一个与之全等的图形,接着平移或旋转透明纸再复制A4纸上的基本图形即在透明纸上实现了一次平移或旋转变换．而折叠透明纸并直接复制透明纸上的基本图形可以实现一次翻折变换．

这样的创作活动引导学生思考图形变换的各种要素,让学生徜徉在设计的海洋里,感受数学带来的美．

学生们一一分享自己的创作成果,挖掘形成图案美的数学要素．而在单一变换的基础上,如果我们混合使用不同的图形变换,如综合使用旋转和平移变换,再加以着色,那效果会更加震撼(图15)．事实上,这样的图案设计广泛应用于生活中,如果我们细心观察周围,很多布料的纹样都蕴含了这三种图形变换(图16)．而在自然界,龙舌兰叶片的排列、向日葵果实的排列、高清镜头下的雪花,这些都有旋转的要素在其中.在建筑设计领域,对称美也比比皆是,如苏州园林的花窗(图17)、故宫的建筑群、法国的卢浮宫(图18),这些都是很好的例子．

图15 图16

2 教学思考

在学生的创作阶段,笔者呈现的是传统的数学课堂,利用透明纸的可复制性,学生根据自己选择的交换种类多次复制自己的基本图形,达到图形变换的目的．学生能感受到图形变换给单一图形带来的美的丰富性．而事实上,在学生使用透明纸实现图形变换的过程中,难以在变换的要素上有精确的把控,如平移的距离、对称轴的选择、旋转的角度等．这些要素如果换成是用几何画板来实现,会精准很多．设想一下我们的课堂在机房,学生先学习几何画板三种变换的操作流程,在熟练掌握的基础上再来创造自己喜欢的图形．在这个过程中,学生可以不断调整变换的要素来达到美的效果,甚至还可以使用画图软件进行着色,运用数学与艺术等多种语言形式表达自己对美的理解．