八年级学生几何直观素养培育的实践与探索*

刘 佳

(江苏省宿迁市苏州外国语学校 223814)

几何直观素养是学生必备的一种数学素养,是一种内在的思维品质．《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《课标2022》)指出:“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯．”[1]8对于复杂的数学问题可以通过几何直观使问题变得简单、清晰,能够获得解决问题的新思路．本文立足于课堂教学实践,通过案例探讨提升学生几何直观素养的途径．

1 学情分析与教材分析

1.1 学情分析

八年级是义务教育初中阶段承上启下的一个学年,此阶段容易出现学生数学学业成绩分化的现象．在教学过程中发现学生的现状如下:(1)已掌握构成图形的基本元素,三角形、四边形等基础图形要进一步学习;(2)学生有一定的自主作图能力,对于较复杂的图形,有待提升;(3)识别模型一直是学生较为缺失的素养,大部分学生的模型思想意识较为薄弱,不能够找出基本模型;(4)学生的数形结合能力,尤其是以形解数的能力还需要强化．

1.2 教材分析

苏科版八年级数学共12章,其中有3章涉及“图形与几何”,包括:全等三角形、轴对称图形及中心对称图形——平行四边形,这些内容是学生学习几何的基础．还有两个重要的“模型”——一次函数及反比例函数、数与形完美结合的勾股定理,它们是培育学生几何直观素养极其重要的内容．

教师在传授知识的同时,应关注学生核心素养的培养,通过精心设计课堂教学,让学生学会学习、学会思考,把几何直观素养的培育融入到课堂教学中．

2 几何直观素养的培育途径

按照八年级所学知识划分,“数与代数”(实数、二次根式、分式以及一次函数、反比例函数)、“图形与几何”(全等三角形、轴对称图形、勾股定理以及中心对称图形——平行四边形)等,培养途径为感知图形、自主画图、构图分析、数形结合．

2.1 熟悉基本图形——培养学生几何直观感知能力

几何的研究对象是图形,几何直观就是利用图形的这些特点去探究、描述、分析和洞察事物或问题的结构与关联,感悟事物的本质[2]．让学生熟悉并熟练掌握基本图形是培养学生几何直观素养的首要目标．

《课标2022》指出:初中阶段图形与几何,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系．[1]63与小学阶段相比,初中对图形的研究更重视图形的基本性质和相互关系．八年级这一阶段,学生重点研究的是三角形、平行四边形等基本图形,在学习过程中要求学生具备直接感知图形的能力,为以后的学习及在复杂图形中寻找基本图形打下基础．

案例1等腰三角形的教学设计.

苏科版数学八年级上册第2章《轴对称图形》 “2.5 等腰三角形的轴对称性”,本节课的首要教学目标为经历探索等腰三角形的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特性,培养几何直观能力．教学设计如下:

环节1 知识储备——回顾基础图形

如图1,请说出△ABC的边、角之间的关系．如图2,请说出△ABC的边、角之间的关系．

图1 图2

设计意图从熟悉的“形”的基本元素入手,让学生熟悉我们要研究图形就是研究图形的基本元素．小学时已经学习了简单的等腰三角形,学生通过知识回顾,看基本图形,为后面的学习打下基础．

环节2 动手操作——熟悉基础图形

问题1 如何说明你手中的三角形(纸片)是等腰三角形?

问题2 通过操作,你发现等腰三角形具有哪些性质?

设计意图等腰三角形的轴对称性,即“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”这一性质,学生理解起来较为困难．学生动手操作折纸,使等腰三角形的性质得到具体、形象的呈现,有利于学生加深对图形的理解,熟悉基本图形．在课堂教学过程中,学生沿角平分线AD翻折探究性质,运用图形运动的方法表达结论,相互交流补充,有利于培养几何直观素养．

环节3 尺规作图

如表1,利用尺规作出基本图形,学生在讨论作图的方法和作图的依据的过程中充分理解等腰三角形的性质,熟练掌握基本图形．

表1 尺规作图

平行四边形的研究方式与等腰三角形相同,通过折纸、剪拼、尺规作图等操作活动,充分理解操作过程中的几何原理,直观感知图形的变化,通过对特殊三角形、特殊四边形的深入研究,不断积累基本知识,同时进一步发展熟练感知图形的能力,为几何直观素养的培育建立图形基础．

2.2 自主画图——培养学生几何直观操作能力

波利亚指出:画在纸上的图形易画、易看、易记．通过使用一些适当的几何表示,我们试图将一切都用图形语言来表达,将所有类型的题目都归结为几何题[3]．在平时解题过程中重视自主画图教学,自主画图能够有效提高学生操作能力,培养学生几何直观素养．培育几何直观素养需要注重图形的生成过程,让学生自主画图,将图形重新生成,通过画图,将几何直观转化为形象思维,提供解决问题的思路．直接让学生观察图形或许会节省教学过程的很多时间,但当学生满足于条件所提供的图形而不习惯自主画图时,就不易发现解决问题的方法．

《课标2022》要求“理解和掌握尺规作图的基本原理和方法”[1]63．八年级的基本尺规作图包括:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形以及已知一直角边和斜边作直角三角形．其他作图都是在基本作图的基础上复合作图．

案例2尺规作图.

苏科版数学八年级上有一道习题[4]:

如图3,已知△ABC,用直尺和圆规按下列要求作图:作△BAC的角平分线AD;作∠CBE=∠ADC,BE交CA的延长线于点E;作AF⊥BE,垂足为F．

图3

本题学生错误率较高,原因为这是一道复合作图题．第一步作出∠BAC的角平分线AD;第二步“作一个角等于已知角”,即∠CBE=∠ADC;第三步完成“经过直线外一点作已知直线的垂线”,即AF⊥BE．对于复合作图题,学生首先需要厘清画图的基本要求,并能分析出作图顺序,从而画出符合要求的图形．尺规作图是学生画出标准图形的依据,学生要熟练掌握五种基本作图,在平时的学习中,要善于将复合图形分解为基本图形,以便提升画图能力,培养几何直观素养．

几何直观发展阶段为:看懂基本图形→能画基本图形→由文字、符号或实物画出基本图形→从基本图形中识别基本元素及其关系→从综合图形中分解基本图形,进行逻辑分析．在平时的教学过程中,应帮助学生养成自主画图的习惯,在画图的过程中培养学生的几何直观素养．

2.3 构图分析——培养学生几何直观建模能力

画图本身就是一种几何直观,而“画图—建模”则是对象识别与建立的通用技术,有助于几何直观素养层级的提升与转化,是学生直观理解概念的思维抓手[5]．学生在解决几何问题时,不仅需要掌握基本图形及其性质,还需要能从复杂图形中分离出基本图形,并运用所学基本图形构造模型,以达到解决问题的目的．

案例3苏科版数学八年级下册习题1[6]:

已知:如图4,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,EF分别交BD,AC于点G,H．求证:OG=OH．

图4 图5

学生思路 看到E,F分别是AB,CD中点时,直观感觉是中位线模型,在审题的过程中,初步判断应该作中位线更加简洁．分别取BC,AD的中点,发现图形过于混乱,于是进行了改动,只取了BC边上的中点M,并连接EM与FM,利用中位线的知识完成证明(图5)．

案例4苏科版数学八年级下册习题2[6]:

在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8．将矩形纸片折叠,使点B与点D重合(图6),求折痕GH的长．

图6

学生思路1

如图7所示．

图7

学生思路2 连接BD交GH于点O,因为B,D是对称点,依据“对称点的连线被对称轴垂直平分(垂直平分线模型)”,构造直角三角形求出OH的长度,进而求出GH的长(图8)．

图8

著名的代数几何学家上野健尔在《何为好数学》一文中谈到:“初等几何对于训练正确的逻辑思维非常重要．但是,初等几何往往使人头疼,因为解题并不容易．你经常不得不作辅助线,一旦找到恰当的辅助线,问题便会迎刃而解．这会让你享受发现的快乐．”[7]辅助线的添加能够起到呈现基本图形、生成图形等作用,让学生厘清构图原理及其作用,通过熟悉的模型完成构图分析,有效培养几何直观素养．

2.4 数形结合——培养学生几何直观融通能力

案例5反比例函数的学习.

这一类题目属于函数增减性的应用,利用增减来解决不等式类问题,可以减少错误率．

这一题学生难以快速解决,可以将问题转化为几何图形,让学生自主合作交流,在画图过程中主动探索,去直观感受面积的不变性:△OQM始终是直角三角形,其面积在动点Q变化的过程中不会发生改变．从特殊到一般,让学生体会|k|的几何意义．

学生在遇到问题时,很少会从“形”的角度去思考,学生没有体会到直观的几何图形会给理解问题、寻求答案提供新的思路．

3 结语

“会用数学的眼光观察现实世界”是《课标2022》提出的核心素养构成之一[1]5．几何直观作为数学眼光主要表现方式,从认知层面来看,通过熟练掌握基本图形,完善基本图形的概念及性质,提高几何直观感知能力．从实践层面来看,通过自主画图,建构基本图形与复合图形的关系,能够在画图建模的过程中感受复杂图形的构成,提高几何直观操作能力．从思想方法层面来看,通过数形结合,感受图形直观在解题过程中的便利,培养几何直观融通能力．从心理学层面来看,通过培养几何直观素养,引导学生可以用图形思考,把握问题的本质,增强解决问题的信心．