对一道平面向量试题的解法的探究

刘池楼

【摘  要】  一题多解是数学教师在解题教学中常用一种教学方式.其有利于拓宽学生的思维视野，发展学生的思维品质，提升学生的核心素养.教学中，教师应立足例题的典型性，引导学生多维思考，开阔学生的思路，促进学生深刻理解与考题相关联的不同知识点，进而提升处理此类问题的解题能力，发展学生的核心素养.

【关键词】 平面向量；高中数学；解题技巧

由于平面向量具有“形”和“数”两种形态^[1]，所以求解数量积问题时，可关注平面向量的几何意义的应用，获取求解思路；亦可关注平面向量的坐标运算的应用，获取求解思路.请结合如下问题的多解探究，认真领会，以便迅速提升处理此类问题的解题能力^[2].

好题采撷如图1，在凸四边形中，为的中点，为△的重心，且满足，，，求的值.

多解探究因为，所以可得三点共线，且为的中点.

根据三角形重心的定义以及题意“为的中点，为的重心”可得三点共线.从而，必有四点共线，且.

解法一  连接，则根据为的中点，为的中点可得，且，所以.

因为为的重心，所以，

所以可得

.

于是，可知.

又，

所以

.

因为，所以平方得，

所以代值得，

即.

综上，所求.

点评 该解法的切入点是选择一组基底（向量），解题关键是将目标问题转化为关于的运算问题，显然对向量形式的化简、运算要求较高.

解法二  如图2，建立平面直角坐标系，则由题设知点.

设点，则△的重心的坐标为.

设点，则由，

得，

所以，

所以，所以点.

于是，.

所以.

因为，

所以由，

得，

即.

综上，所求.

点评 该解法选取点作为坐标原点，通过设出点的坐标，有利于借助平面向量的坐标运算，順利求解目标问题.

解法三  根据题意，可建立如图3所示的平面直角坐标系，则.

设点，则由，可得.

从而，，所以点，

所以，.

于是，由，

可得，即.

又，

故所求.

点评该解法选取点作为坐标原点，通过设出点的坐标，有利于优化解法二的解题思路.一般地，建系方式不同，设点坐标的方式不同，往往会影响解题过程的繁与简.

结语

综上，处理平面向量中的求值问题，往往有两个常用思路：一是向量形式的运算求值，对解题技能要求较高^[3]；二是借助向量的坐标运算，达到化简求值之目的，实施方便一些^[4].

参考文献：

[1]吕松涛，曹广福.高中向量教学中数学思想的渗透[J].数学教育学报，2021，30（04）：19-24.

[2]张瑾.基于核心素养的高中数学单元教学设计研究[D].西安：陕西师范大学，2019.

[3]高琴.构造向量 优化思维[J].高考（综合版），2014（02）：92-93.

[4]朱书莉.基于SOLO分类理论对高中生向量学习的研究[D].重庆：西南大学，2020.