初中数学“一题多解与一题多变”教学研究

陈斌

【摘要】“一题多解与一题多变”是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义.为了构建“一题多解与一题多变”教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学“一题多解与一题多变”教学的开展方法进行探究.

【关键词】初中数学；一题多解；一题多变；教学研究

数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行“一题多解”的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力.在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构、融合数学思想、设置多解训练、构建多变训练、引领学生归纳五个方面来开展教学.

一、“一题多解与一题多变”的价值分析

“一题多解”是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考.一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路.多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义.

“一题多变”是变式思想的显现，在“一题多变”的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整、问题新拟、题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题.此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力.在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型.

二、“一题多解与一题多变”教学的开展方法

（一）解析原题结构，分析习题特征

原题的解析与研究是帮助学生进行“一题多解或一题多变”的基礎，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题.在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件.如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：

例题 两个连续奇数的积是323，求出这两个数.

分析 通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语“两个连续奇数的积是323”.学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法.其中，教师可以为学生展示“将较小的奇数设为x”“将较大的奇数设为x”“将x设为任意整数”“将两个连续奇数设为x-1和x+1”，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法.四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异.通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后“一题多解和一题多变”的思索研究做好铺垫.

为了让学生了解“一题多变”的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题.在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为“两个连续奇数的积是399，求出这两个数”，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答.教师也可以将习题改制为“两个连续偶数的积是440，求出这两个数”，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题.在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化.

（二）融合数学思想，研究解题方法

解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注“一题多解”的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念.在实际教学中，“一题多解”的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法.在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面展示.如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：

例题 某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋，共用去9.25元；若买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹅蛋，则会用3.20元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？

分析 通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解.在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法.

方法一 凑整法

通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子.在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用.

方法二 主元法

这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将x，y作为未知数处理，将z视为一个常数，以此对方程变形：

通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用.在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）、不等式（组）、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例.

方法三 参数法

观察式子之间的关系，得①-②×3可以消去z，再化简可得x-y=-0.05 ④

③×3-②可以得到x-y=3k-3.20 ⑤

此时通过式子④和⑤可以得到3k-3.20=-0.05，所以k=1.05，此时可以得到x+y+z=1.05.

解析 上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法.

参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法.这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答.

通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中認识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升.为了发展学生的解题能力，让“一题多解”真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展.

（三）设置多解训练，推动学生探究

“一题多解”的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想.在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法.

练习题3 甲、乙、丙三种货物，若甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.请问：买甲、乙、丙各一件需要多少钱？

在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法.在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出3种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示.在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考.

（四）构建多变训练，促进学生拓展

“一题多变”的训练需要教师秉持“万变不离其宗”的核心思想，对习题的题干信息、提问方式、条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组.在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考.为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目.如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：

原式 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形.求证平行四边形的中点四边形是平行四边形.

变式一 按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形.

变式二 按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形.

变式三 一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？

原式 一个宽为50cm的长方形图案由10个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长.

变式一 一个宽为50cm的长方形图案由20个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长.

变式二 一个宽为100cm的长方形图案由10个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长.

变式三 一个宽为50cm、长为100cm的长方形图案由8个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长.

在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析、求解.在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处.对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理.在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答.在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展.

（五）引领学生归纳，培养模型意识

模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养.模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答.为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类.在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型.

如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型.在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务.学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展.

结 语

综上所述，“一题多解与一题多变”是开展数学解题教学的一种有效模式.通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升.在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法.在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识.

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