算术内容的教学要渗透代数思维

尹力 郭修瑾

摘要：从算术到代数的过渡，是小初数学衔接的重要方面。对此，应重视在算术内容的教学中渗透代数思维，引导学生挖掘普适性数学关系，感悟一般化抽象、符号化表征、推理、论证等思维过程。具体地，包括：在数概念的学习中，认识不确定的数；在等号含义的学习中，理解等量关系；在数学运算的学习中，探寻算式结构；在运算规律的学习中，经历概括论证。

关键词：小学数学；代数思维；算术内容；一般化；数量关系

长期以来，小学数学课程重视算术内容，初中数学课程重视代数内容。代数是算术的发展：一般化，基于字母表示数。因此，从算术到代数的过渡，是小初数学衔接的重要方面。从1978年开始，我国便在小学数学课程中逐步渗透代数的内容；21世纪新课程改革以来，“数与代数”更是成为我国义务教育（小学与初中）数学课程共同的一个学习领域。但是，小学数学课程中的代数内容一直有一些变化。比如，1978年的小学数学教学大纲中设置了“简易方程”，而《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）将小学阶段的方程内容全部移到了初中阶段。［1］

实际上，从算术到代数的过渡，更应重视在算术内容的教学中渗透代数思维。代数思维是一种区别于算术思维的思考数学问题的方式，其本质在于对一般性的数学结构进行推理或分析，并且在这个过程中通常出现不确定的量（包括未知量与变量）。［2］发展小学生的代数思维能促进其抽象与推理能力的发展。教师可以在算术内容的教学中，引导学生挖掘普适性数学关系，感悟一般化抽象、符号化表征、推理、论证等思维过程。

一、在数概念的学习中，认识不确定的数

（一）从静态的数到动态的数

数是确定的，是对数量的抽象（数量是对事物属性的定量刻画），但其表征与蕴含的关系是多元的，可以根据需要合理表征。数的学习中，代数思维体现为不仅将数看作静态结果，也把数看成不同关系的组合，从而建构对数的多角度理解。

启发学生用不同的方式表征数，是帮助学生对数建立动态理解的关键。比如，要求学生从5开始写出三个连续的自然数，学生一般会写出5、6、7。如果教学仅限于此，那么，学生对数的理解是单一的，数之间的关系被淡化了。教师可以组织学生探索其他表征方式，逐步引导学生写出5、5+1、5+2。以这种方式表征，不仅可以表示数5、6、7，也能促使学生关注这三个连续的自然数之间的关系。在此基础上，可以进一步启发学生探索更多的方式来表征蕴含这样关系的三个数，如7-2、7-1、7，还有6-1、6、6+1等。

像这样表征数的方式，可以进一步拓展到其他问题中。比如，随着学生认数范围的扩充，教师可以引导学生表征较大的整数以及小数、分数。随着学生知识经验的丰富，教师也可以引导学生表征连续的奇数或者偶数，甚至可以用来探索各种与数有关的规律。例如：在图1中任意框出“十字架”形的5个数，说出其他4个数与中间的数有什么关系？［3］用13、17、18、19、23这样的形式表达，其内在的规律不易被发现。而用18-5、18-1、18、18+1、18+5的表征方式多列举几组，学生就容易发现并概括其中蕴含的数的规律：用a表示中间的数，则a-5、a+5、a-1、a+1分别表示上下左右4个数。这些内容的学习有助于学生体会到数是动态的，可以进行合理的分解，感悟数中蕴含着多元的关系。

（二）从具体的数到概括的数

代数思维的核心是“一般化”，即不断提升数学对象的抽象水平。对数的再抽象便是从具体的数向概括的数发展。有的问题中，数是已知且确定的，学生能理解用某个具体的数表示。而有的问题中，数是不确定的，需要用多个甚至是无数个具体的数表示。这不利于实际应用，所以需要转变思维，用某个符号表征这些不确定的数，并理解符号所表征的数的含义与能够参与运算的功能。

从具体的数到概括的数的认识过程不是一蹴而就的。教师需要捕捉教学中的契机，引入适当的问题情境，促使学生主动对具体的数进行概括。“用字母表示数”是专门学习概括的数的内容，教学中可出示问题：甲、乙两地之间的公路长280千米，一辆汽车从甲地开往乙地，行了多少千米，还剩多少千米？对此，关键在于引导学生体会行驶的路程是不确定的，无法用具体的数表示，需要用其他符号表示；其次才是引导学生从多种表征方式向规范的字母表示发展。当然，在学习“用字母表示数”之前，也有很多机会让学生感知数的概括意义。比如上述探索数的规律的问题，在表征规律时，具体的数有局限性，用符号表征才能帮助学生理解规律的普遍适用性。

二、在等号含义的学习中，理解等量关系

等号具有两重含义，即程序性意义与关系性意义。前者是算术思维的体现，后者是代数思维的体现。卡彭特等认为，由算术思维向代数思维转换的标志之一是从等号的程序观念到关系观念的转变。实际上，学生刚认识大于、小于和等于时，认为三种符号就是用来表征关系的。后来，长时间的运算学习使得学生将等号看作执行运算的指令，即等号的右边要输出运算的结果。因而，在算术教学中，应该重建学生對等号的理解，强化学生对等号关系性质的认识，启发学生将等号看作等价的标志，即表示两边的数学对象大小相等。

（一）借助直观模型，理解相等关系

天平是表征关系的直观模型。借助天平，学生能从感性到理性逐步理解等号的关系性质。比如，利用天平开展数学活动：如图2，盘子里每个苹果的重量都相等，从5个盘子里选出一些盘子里的苹果（一个盘子里的苹果不分开）放到天平的两边，使天平保持平衡，可以怎么放？引导学生找出多种方法，重点体会任意一种方法中天平左右两边苹果交换后仍然可以保持平衡，为学生理解等号两边的数或式交换位置后相等关系仍然成立打下基础。再启发学生用算式表示天平两边苹果的数量关系，主要引导学生根据天平模型写出3=1+2、5=1+4、5=2+3一类算式。接着，组织学生观察这类算式的特点，并与1+2=3、1+4=5、2+3=5这类算式比较，体会等号表示两边的数相等，等号两边的数即便交换位置，也不会改变它们的相等关系。

（二）建构等式性质，强化相等关系

等式性质是对相等关系的拓展，有助于学生进一步理解等号的关系性质，以代数思维分析与解决问题。等式的性质1与等式的性质2具有内在的关联：两边同时乘一个数，本质上是两边同时加上若干个相同的数；两边同时除以一个非0的数，本质上是两边同时连续减去若干个相同的数。教学时，仍需借助天平这一直观模型，帮助学生理解等号两边同时变化的过程，逐步抽象出等式的性质1与等式的性质2，形成意义理解。

在此基础上，有意识地应用等式的性质判断等式是否成立，是衡量学生是否具有代数思维的标志。比如，通过问题

“已知m=n，在（）里填入合适的数或字母：m+4=n+（），m×p=n×（），m-（）=n-17，m÷（）=n÷q”［4］，测评学生对等式性质的掌握水平。算术思维下，学生判断等号左右两边是否相同，需要算出结果进行比较。而该问题中，学生无法计算，只能依据等式的性质进行推理。在探索与应用等式性质的过程中，学生不仅能从新的角度理解等号的含义，也能接触很多新颖的等式（以往都是等号右边只有一个数的类型），从而为代数思维的发展打下基础。

三、在数的运算的学习中，探寻算式结构

计算是算术学习中的重要内容。教师普遍重视学生运算能力的培养，学生也基本能形成良好的运算技能，最显著的表现是：遇到一步算式，便列竖式计算；遇到综合算式，便按照运算顺序一步步计算，熟练度与正确率都比较高，但这些都是程序化算术思维的体现。而运算能力不仅指正确计算，还包含根据运算律选择合理简洁的运算途径。这其中蕴含了代数思维的培养契机。

早期代数研究者提出“准变量”的概念，意指在一个或一组算式中，存在某些潜在的数学关系，这些数学关系不会因为数字的改变而变化。数字是具体可变的，但其中蕴含的关系一般是不变的。学生可以具体数字为载体，探索应用其中的一般关系。因而，“准变量思维”被称作沟通算术思维与代数思维的桥梁。计算教学中，可以启发学生转换自动化的算术思维，应用“准变量思维”挖掘算式中隐藏的关系，通过恒等变形探索更合理简洁的运算途径。例如，计算103×25，学生的第一反应是列竖式计算，这是程序化的算术思维。若不加引导，学生的算术思维会愈加自动化，关系性的代数思维会更难扎根发展。在学生掌握乘法分配律后，可以引导学生将103看作准变量，进行合理的分解：103×25＝（100+3）×25=100×25＋3×25。由此，学生不难通过口算得出结果。当然，103的分解方法是多样的，分解成100与3只是其中使得运算最合理简洁的一种。对上述案例进行比较，不难发现运算中算术思维与代数思维的区别：算术思维的着眼点在细节，弄清每一步做什么，然后按照计划执行；代数思维的着眼点在全局，先进行整体上的分析，厘清关系后进行恒等变形，找出更加合理的运算途径后再计算。而这时候的计算要比算术思维下的计算简洁很多。

实际上，在小学阶段，学生会掌握很多运算律或运算性质，如交换律、结合律、分配律、商不变的规律、积的变化规律、除法性质与减法性质等。这些都是蕴含在具体算式中的一般关系，等待学生挖掘与应用。也就是说，学生已经具备了进行代数思维的知识基础，关键是教师在教学中引导学生转变思维方式，缓解算术思维的自动化程度，培养整体分析算式、进行恒等变形的代数意识。

而且，应用“准变量”概念探寻算式结构，有利于学生认识到运算是一种制造对应关系的法则，从而初步体会函数思想［5］——从本质上看，各种运算都是对应法则，都是函数。

四、在运算规律的学习中，经历概括论证

算术思维关注的是具体的数或算式，代数思维关注的是一般的对象或关系。所以，代数思维的核心是一般化：将若干个具体的实例概括成统一的形式。算术学习中，学生会遇到很多运算规律，这些运算规律都是对算术中普遍性关系结构的概括。在运算规律的学习中，引导学生经历归纳概括与推理论证的过程，有利于学生代数思维的发展。

（一）概括运算规律

归纳概括是从几个具体的例子推出一般规律的思维过程，包括有序经历发现规律、验证规律、归纳规律、概括表征等学习活动，有助于学生逐步体验运算规律的一般化，感知代数思维的一般化特征。

比如，教学“乘法分配律”，一般先引导学生探索问题情境（如下页图3所示），得出具体的等式（6+4）×24=6×24+4×24；再让学生观察这样的等式，初步发现规律。在学生获得一定发现的基础上提出问题：“其他的数的运算也符合这样的规律吗？写几道这样的式子，并验证等号两边的结果是否相等。”继续引导：“像这样的等式还有吗？你们能写完吗？”启发学生理解，数可以任意变化，但其中蕴含的规律是不变的。“能用一句话表示吗？能用更简洁的方法表示吗？”引导学生先用个性化的语言表征规律，将重点放在规律概括的正确性上。最后启发学生用多样、简洁的方式表示，最终向规范化的字母表征发展。需要注意的是：教学的要点是对运算规律的发现与概括，即引导学生正确地发现规律，体会用数字表征的局限性，感悟其他符号概括数的功能。至于是否用字母进行表征，则是相对次要的。

（二）论证运算规律

对于所说的“一般化”，应该有更加完整的理解，即不仅是指由特殊上升到一般，也包括结果的表述与论证。［6］运算规律的归纳概括主要是一种归纳推理，具有或然性，需要通过推理论证来说明必然性。经历推理论证过程，不仅能深化学生对运算规律的理解，也能促进运算规律的应用。

比如，教学“乘法分配律”，从多个具体的等式中归纳出（a+b）×c＝a×c+b×c后，需要引导学生进一步思考这一规律为何成立。可以启发学生从两个角度理解规律。第一个角度，借助直观模型理解。如图4，有两个小长方形，其面积和有两种算法：可以先求出两个小长方形的面积再相加，即a×c+b×c；也可以先把两个小长方形合成一个大长方形，再算出面积，即（a+b）×c。这两种算法结果相同，所以，（a+b）×c＝a×c+b×c。

第二个角度，借助乘法的意义理解。a×c表示a个c相加，b×c表示b个c相加，a×c+b×c表示（a+b）个c相加，即（a+b）×c。

有时，我们的教学过于重视运算规律的应用，在归纳概括出规律后，便匆忙用其解决问题，忽视了对规律的理解與论证。这不仅导致机械学习、浅层理解与错误频发，也使学生缺失了对相等关系的深度体悟。因此，运算规律的教学中，概括与论证不可或缺，共同促进学生体会代数思维中的“一般化”。

参考文献：

［1］ 吕世虎，颜飞.新课标“数与代数”内容分析：从结构到要求［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（11）：89.

［2］ 邓茜茜，丁锐.西方早期代数相关研究及启示［J］.小学教学（数学版），2023（5）：69.

［3］ 尹力，郭修瑾.从符号表征入手——也谈小学数学教学中的符号意识培养［J］.教育研究与评论（小学教育教学），2021（8）：64.

［4］ 朱向明，刘晓萍.让代数思维在探究等式的性质中萌发——“等式的性质”教学实践与思考［J］.小学数学教师，2023（4）：1016.

［5］ 张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们［J］.人民教育，2007（18）：32.

［6］ 郑毓信.“代数思维的渗透”与“认知心理学指导下的数学教学”——《数学教育研究手册》的学习和思考之一［J］.小学教学（数学版），2021（9）：48.