基于快速傅里叶变换FFT 量化乒乓球拍底板性能的研究

于泓

（中国能源建设集团辽宁电力勘测设计院有限公司 辽宁 沈阳 110179）

随着乒乓球运动高精准化发展，球员选择适合自我特点的球板，越发感到困惑，原因是球板性能没有明确的量化标识。为此，研究者们开展了相关的研究。文献采用频率计测试出球板的基频表征试品的性能，但忽视了一阶固有频率以外高阶的固有频率的作用。文献探讨了固有频率与球板结构的关系，涉及了专业软件计算多阶固有频率的方法，列出的一阶固有频率数值未落在文献归纳范围内（220-660Hz），选取木材工程的经验数据计算，难免偏离实际的结果。为弥补现有量化技术的不足，急需研究开发新的量化方法。

1、球板具有n 阶固有频率和n 阶固有振型的属性

任意一只球板都具有其唯一的多阶固有频率和对应的多阶固有振型的属性，其多阶固有频率数值与对应的模态刚度和模态质量相关，证明如下述。

1.1、n 阶固有频率

实际的球板结构可认为是一振动系统，其质量和弹性是连续分布的，具有无限多个自由度。为简化分析，将系统简化为有限多个自由度的振动系统。一般情况下，n 个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式：

设n自由度系统运动微分方程（1）的特解为

由（3）式可观察到，要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程：它是关于2p的n次多项式，由它可以求出n个固有频率（或称特征值）。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率，即：。

1.2、n 阶固有振型（主振型、主模态）

将已求出的固有频率（特征值）代入式（3），可分别求得相对应的A。对应pi可以求出，其各元素振幅的集合就是系统n 阶固有频率的主振型。

1.3、各阶固有频率与对应的模态刚度、模态质量的关系

质量、刚度对固有频率的影响有以下分析，由式（6）可知

上式中Ki、Mi分别为第i 阶模态刚度和第i 阶模态质量。由式（8）可以看出，系统的某阶固有频率随该阶的模态刚度影响系数增大而增大，随该阶模态质量的增大而减小。

实际取得球板的刚度和质量的分布参数是很困难的。对于多阶固有频率以及振型，测试和实验将是最好的实现方法。

2、傅里叶变换和快速傅里叶变换FFT

周期函数可展开为傅里叶级数：

式中1ω为基波角频率；n为谐波次数；a0为常数分量；为各次谐波的幅值。经欧拉转换，（9）式的复数形式为：，式中cn为各次谐波系数，它相当于幅值（11）。傅里叶级数式（10）是将时域数据分解为无穷多个离散的谐波。因此，对任意周期函数X(t)的傅里叶变换，得到的是频率函数X(f)，实现时间域信息转变为频率域信息，即频谱分析。

利用复指数函数的周期性和对称性，学者库利和图基提出了快速傅里叶变换FFT 的算法，充分利用中间结果，大大减少了计算工作量，提高了计算速度,推动了FFT 分析仪的开发利用。由于测试输入是真实的振动模拟信号，无需附加力学参数和边界假定，当被测球板在激励下，激振的频率接近系统的各固有频率，即ω≈Ρn时，振幅放大系数β 出现最大值，各阶主振型振动幅值达至峰值，因这些峰值呈“鹤立鸡群”样明显突出，特别利于对各阶固有频率值的抓取，达到实验测试目的。

3、实验

3.1、试件前5 阶固有频率的测试

实验按图1 左侧布置，受试球板悬挂在实验台架，安静环境下，启动FFT 频谱分析仪待测，用带毡垫木槌轻击球板中下部形成强迫激励，当屏幕出现如图1 右侧的图形，按停止键，该图谱将保持在屏幕上静止，拨动游标，与“鹤立鸡群”的f1、f2、f3、f4、f5 波峰重合时，分别记录它们的频率数值，即完成测试。

图1 FFT 测试受试球板装置和测试的屏显频谱示意图

实验选择各类型球板测试，经统计，前五阶固有频率均分布在240-2200Hz 范围内。

3.2、前5 阶固有频率测试案例

两只球板测试结果如图2 所示，左侧图中显现了1-5 阶固有频率的频谱。图2 右侧图的图谱并未反映通常的f2 固有频率属性，原因是该球板采用了芳基碳素纤维编织材料，属于特例。11只球板测试结果按直板和横板分成两组，以表1 和表2 列入。

表1 被测球板（直板）1 至5 阶固有频率测试结果表 单位（Hz）

表2 被测球板（横板）1 至5 阶固有频率测试结果表 单位（Hz）

图2 FFT 测试输出实例截屏照片

3.3、球板的1 至5 阶主振型实验

为取得1-5 阶的主振型，先从获得节线入手。前面方法获得各阶固有频率数值后，以低频信号发生器用已知频率值逐阶激励（见图3 左侧装置），让球板在其各阶的固有频率分别发生持续的同频共振，事先球板表面均匀撒布轻颗粒体（见图3 右侧），颗粒体在球板的振动中获得动能而跳跃，由高动能向低动能区移动。板面逐渐发生轻颗粒体聚集的现象，它们聚集而形成规则的线条（见图4），这些线条经整理绘出各阶振型的节线（见图5）。再根据振动体节线上位移最小，节线两侧振动位移方向相反的特性，绘制出球板的1-5 阶的主振型图（见图6）。

图3 同频共振连续激励装置和均匀散布轻颗粒的受试球板

图4 1 阶至5 阶固有频率同频共振下小颗粒体汇聚成固有振型的波节线图形

图5 由同频共振实验的图形结果绘制成节线图

图6 球板前五阶固有频率振型图

4、推荐两组数据作为比对基准值

为了实验结果的比对方便，推荐（表1）中代号S5160 直板和（表2）中代号S2397 横板试品两组数据分别为直板基准数据组和横板基准数据组。归一化处理案例见（表3）和（表4）。

表3 被测球板（直板）1 至5 阶性能量化比对系数表

表4 被测球板（横板）1 至5 阶性能量化比对系数表

5、实验数据分析和主观感受

由实验观察，低阶到高阶固有频率的振幅（形变量）总趋势是逐阶下降的，5 阶以后的振幅高度与非固有频率的振幅差距越来越小，力学特征已不明显，相应前五阶固有频率比较容易获得。选择多种类型球板参与测试发现，无论是横板还是直板，无论是全木材料还是加混碳素纤维材料，几乎所有受试球板的五阶振型图模样都是相似的，球板性能之间的区别主要反映在各阶固有频率的数值大小。

一阶固有频率是主基调，传统的敲球板子听声音辨球板来自于它。一阶固有频率的节线呈“一字”形，振型呈“鱼尾”摆动样。频率值表征了球板总体纵向弯曲刚度的强与弱，主要贡献因素来自于球板各层纵向木纹纤维材料的物理性能以及球板的总体厚度等。频率过高的球板显“僵硬”不易控制，频率过低的球板显“糠软”乏力；

二阶固有频率的节线如图，振型呈四瓣翘边样。频率值靠近一阶固有频率，其频率值表征了球板横向边沿弯曲刚度的强与弱，主要贡献因素来自于球板力材横向木纹纤维材料的物理性能。在一阶固有频率的振动的基础上增加了一个振动层次，手感增加了“酥”的层次感；

三阶固有频率的节线呈“背心”形，振型呈纵横对称凹凸样。频率值表征了球板纵向和横向弯曲刚度的强与弱，主要贡献因素来自于球板表层面材和次表层力材（或外置芳基碳编织层）的物理性能。频率过高的球板击球“脱板”速度过快，不易控制；频率过低的球板出球发不上力量；

四阶固有频率的节线似“桃形”，呈封闭的环，振型似“水母”样，越靠近环中心区域形变越大，频率值表征了球板中部环形区刚度的强与弱，形变的大与小。主要贡献因素来自于球板芯材（和内置芳基碳编织层）的物理性能。频率过高的球板击球有“脱板”过快，形变小，有不“持球”感，影响旋转的发挥；频率过低的球板击球有“脱板”过慢，形变大，有不“通透”感，影响击打强度和速度的发挥；

五阶固有频率节线呈“T 裇”形，振型呈“Y 字”凹凸形。频率值表征了球板面材纵向和横向刚度的强与弱，决定频率数值的主要贡献因素来自于球板表层面材的物理性能。频率高的球板“脱板”快，借力回弹快速，“脆感”反馈强；频率低的球板借力回弹较慢，“脆感”反馈弱。

6、小结

一只球板从制造完成就确定了它的多阶固有频率的属性，其属性由其物理参数决定并与击球性能存在内在的对应关系。基于快速傅里叶变换FFT 原理，采用实验测试的方法，将激励下球板的时间域振动信号转变为频率域的频谱信息，将频谱曲线中“鹤立鸡群”的前5 项频率检出，完成获取一阶至五阶固有频率值。再采用巧妙的同频共振方法获得1-5 阶对应的主振型。实验结果与主观感受符合基本规律，具有良好的精准性和重现性，形成一套新的乒乓球拍底板性能的量化方法。为方便比对数据，课题推荐直板和横板两组数据为基准数据，可做归一化处理供用者使用。

课题展望，随着测试数据和使用者的主观感受研判的积累，客观的属性与主观的感受终会相得益彰，会不断提炼出测试参数与球板全面性能关系。依据每一只球板所标识的属性参数选择球板，会帮助球员提高训练质量和比赛成绩。对于千千万万的爱好者，以精准的量化参数选购球板，会减少废弃和经济损失，少走弯路。减少木材消耗，对保护森林、保护环境具有积极意义。