构建方程求最值,数形结合探本质

广东省汕头市广东汕头华侨中学 (515000) 张应楷

条件最值问题由于涉及到的变量较多,而且条件与问题之间的关系并不明确.即使求解结束了,也会有巧合的感觉,本文以一道经典试题为例,探究该题的解答过程及命制原理.

一、试题及分析

二、解法呈现

图1

评注：该解法构建了一条过定点的直线,且将所求式转化为一个直角三角形的周长问题.该解法通过引入一个角度“θ”,将所有的变量通过θ进行表示,再利用三角函数的公式进行化简,最后通过柯西不等式求得最值.

该解法二的本质是利用了直线的参数方程,但化简以及柯西不等式的几何意义并不明显.为此,笔者试图研究所求式的几何意义进行求解.经过探究,笔者发现该问题与三角形的旁切圆有关,现展示如下:

图2

三、变式探究

变式1的原理是将直角三角形斜边所过的定点(2,1)改为(s,t),通过上面的分析可知,原问题的背景是直角三角形.接下来,我们考虑其他的三角形来构造变式.

图3

变式2命制原理是以有一个角为120°的三角形为背景,其最长的边恒过一个定点,然后求其周长的最小值.以此为基础,我们可以考虑以任意角为背景的三角形.其次,其定点是通过张角定理[1]来发现的.如果均以该方式来命制变式则条件形式较为复杂,且变形方式也较为困难与突兀,为此,我们考虑如下直白的变式进行研究.

图5