一道人教A版教材习题的变式拓展

广东省佛山市南海中学 (528211) 周鸿高

题目(选择性必修第一册P89习题2.4·题8)长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程,并说明轨迹的形状．

事实上,此题说明了产生圆的另一种方法,即定长线段的两个端点分别在夹角为直角的相交直线上滑动,线段中点的轨迹是一个圆．据此,若改变一些条件,其轨迹又是什么呢?笔者进行了一些变式拓展,得到如下一般性结论．

1．变式一 改变中点为定比分点

由此可知,当λ=1时,点P的轨迹方程为x2+y2=a2,表示一个圆;当0<λ<1时,点P的轨迹为焦点在x轴上一个椭圆;当λ>1时,点P的轨迹为焦点在y轴上一个椭圆．

2．变式二 改变直角为定夹角

问题2 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在夹角为θ(0°<θ≤90°)的相交直线l1与l2上滑动,求线段AB的中点P的轨迹方程．

解析：由于问题1得到的轨迹方程是标准方程,容易讨论轨迹,本题如何建系很关键．

图1

3．拓展一 定夹角与定比分点

图2

4．拓展二 改变相交直线为异面直线

图3

参照问题3的解答,可求得点P的轨迹方程,从而可知点P的轨迹情况．

5．拓展三 改变两条直线为直线与平面

例题(2018·佛山二模·理11)如图4,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点P、Q分别在底面ABCD、棱AA1上运动,且PQ=4,点M为线段PQ的中点,则当P,Q运动时,则线段C1M的长度的最小值为( ).

图4

此题可变式如下: