破“题眼”，解“自然”

陈秀云

数学解题，方法的选择往往由思路产生，而思路则是来源于自己已有的解题经验及知识的迁移，俗称为灵感，不同的灵感决定了不同的思路，不同的思路决定不同的解法，不同的解法又有繁简之分，甚至决定了能不能完成解题，所以如何产生好的灵感，是解题的关键。笔者以2017年东莞市中考数学第24题为例，以“题眼”——数学模型为依据，进行构造辅助线，让学生有法可依地、自然地产生解题方法。

一、题目呈现

（2017广东24题9分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O、PB重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB.

（1）求证：CB是∠ECP的平分线；

（2）求证：CF＝CE；

（3）当时，求劣弧BC的长度（结果保留π）.

二、解法展示（例析）

（1）求证：CB是∠ECP的平分线；

【题眼】 “角平分线+两垂线”

思路1：如图1，过点B作BM⊥PC于点M，因为PF为⊙O的切线，所以 OC⊥PF，易求CO∥BM，那么∠OCB=∠MBC，因为OC=OB，所以∠OCB=∠OBC=∠MBC，易求△CEB≌△CMB，从而得到∠ECB=∠MCB， 所以CB是∠ECP的平分线。

思考：思路1直接用角平分线性质：“角平分线上的点到角两边的距离相等”作辅助线，作BM⊥CP，易得到CO∥BM，从而用△CEB≌△CMB来求解。

（2）求证：CF＝CE；

【题眼】“角平分线+平行线”

思路：如图2，因为PF为⊙O的切线，AF⊥PC， 易求CD∥AF，所以∠FAC=∠ACD，因为OA=OC那么∠CAO=∠ACD从而可求得∠FAC=∠CAO因为AF⊥FC，CE⊥AB利用角平分線的性质可得CF=CE。

思考：第2个问题可以构造全等型来解决，如作OM⊥AF，可构造“一线三垂直”的全等模型△OMA≌△CEO，而且此时发现还构造了一个矩形，从而得到FC=OM=CE；作AM⊥CD，可构造“8字型”全等模型△OMA≌△OEC，也构造了一个矩形AMCF，从而得到：FC=AM=CE；作CM∥AO，构造了一个菱形AOCM，从而也构造了一个“自旋转型”的全等型△FCM≌△ECO，从而得到CF=CE。第2个问题还可以通过“两平一等”模型来求解，从条件中可证CD∥AF，再结合等腰△AOC易得出∠FAC=∠CAO，然后根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”即可求得CF=CE。

（3）当时，求劣弧BC的长度（结果保留π）.

【题眼】 “角平分线+一条垂线”

三、教学反思

面对具体问题，不同人的思维会向不同的方向发散，从而形成很多不同的解决方法，然而解题方法的自然生成在争分夺秒的考场上往往决定能否完成解题的一个关键，所以要达到自然生成解法，必须给解题过程来个“有法可依，有迹可寻”的步骤，否则面对综合性压轴题时，无法找到解题的突破口，从而无法完成题目的解答。如何让学生具备解法自然的能力，它是需要教师在教学过程中训练并渗透方法。笔者认为，首先应熟记定理的基本图形，熟记常用的数学模型——“题眼”，如：一线三等角相似形或全等形，手拉手模型，射影型，垂径模型等。其次学会纵向上寻找题干中的条件，引导学生读懂每一个信息，发掘每一个基本图形，直接衍生出简单结论。所以，当学生对数学模型及定理的基本图形有足够的积累和敏感时，解题也就自然而然，水到渠成了。

责任编辑 邱 丽