基于图示构建的数学内容结构化设计：要义、特征与路径

张香

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的落地、实施，“新课标”突出的变化是课程内容的组织强调“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”。小学数学知识横、纵交错，关联性强，内容结构化设计应立足于整体视域，基于图示构建实现课时内容之间的关联性与递进性，有效支持学生将头脑中的碎片化知识递进化、结构化、体系化，促进知识迁移、联结、推理、应用等，进而形成知识网络体系架构，以此增强学生对数学知识的理解。那么，如何在图示构建下进行内容结构化设计，掌握基本教学策略呢？下面笔者从透视问题、要义解析、表现特征、图示构建的实施路径等关键点进行阐述。

一、内容结构化设计存在的问题

在近年来的小学数学教学中，为了凸显教学的“结构化”，教师往往会将教学内容进行简单的结构化设计，通过不同的学习过程建立学习内容之间的关联，以此帮助学生形成数学知识发展的体系。但在内容结构化的设计上却存在着以下问题。

（一）内容结构化设计流于形式，“结构”缺乏深度

在课堂教学中，教师通常把一系列相关的知识罗列在一起，让学生比较它们之间的关系。这种做法看似进行了结构化学习，但学生对于知识点之间的联结点是什么，为什么这些知识点之间会有这样的关联，其背后蕴含的数学内涵、定义、道理等都没有进行系列思考，学生对数学知识的联系缺乏多层次的感悟与提炼。

例如，教学人教版小学数学教材六年级上册“百分数的认识”时，为了突出内容结构化设计，教师在黑板上书写了一个百分数，让学生思考这个百分数写成的分数、小数分别是什么，学生在举例说明后，教师及时在百分数左右两边分别画上箭头并书写分数、小数，强调它们之间的关系。这样的教学，学生虽被唤醒了原有的认知经验，但仍停留于形式、表面，无法在认知冲突中理解百分数与分数、小数、倍、比等之间的关系。教师未能对百分数便于比较、统计的特点挖掘出来，失去了内容结构化设计的意义。

（二）内容结构化设计缺乏主动建构过程，“结构”停留于点状拼接

多项实验研究表明，学生学习数学的过程是一个不断再创造的过程。基于先前认知经验而逐步形成自我意识样态，经历从具体到抽象再回到具体的认知发展进程。这里的学习发展路径其实就是通过具体与抽象之间的相互促进、协同来反映学习的内在认知发展规律，通过具体、抽象之间的顺向、逆向联结，体现出一个自然的认知发展过程，学生在此基础上建构、形成数学知识网络。内容结构化设计应与此相适应，需要留足时间给学生探究、思考、理解，让学生在经历经验感悟、挑战任务的过程中主动建构知识。

例如，教学人教版小学数学教材五年级上册“植树问题”时，教师为了让学生在结构化内容中感知化繁为简的数学思想方法，进一步培养模型意识，将原有的三个例题整合为一个开放性的植树问题，让学生根据“两端种、两端不种、只种一端”的情况进行探究。需要说明的是，植树问题的关键在于找到点与间隔数之间的模型关系，将棵数与长度转化为生活中的其他数学模型。這就需要教师留足时间给学生探究，引导学生思考、体验与理解植树问题隐藏的规律。但由于教师忽略了内容结构化设计，在学生各自完成三种植树情况的解答后就匆忙进行归纳、总结，导致内容结构化设计的意义缺失。

二、厘清基于图示构建的要义

（一）数学内容结构化的价值

小学数学内容突出知识本质的内涵，指向的是各部分知识内容间的整体协同、相互渗透，呈现出较为丰富、多元的思维路径。因而，数学知识所反映的内容具有整体建构、融会贯通的认知特点，便于学生理解和接受。

结构化的数学知识能促进学生学习拾级而上。学生的思考是从无序到有序的过程，不是单一、线性的串联思维模式，而是在融通的过程中将各个思考环节有序地调控。

（二）图示构建的意义特征

在教学中，多数教师会使用思维导图进行内容结构化设计；也有部分教师习惯将概念图用于内容结构化设计，他们认为概念图简单、明了，能体现知识间的关联。相比之下，图示构建趋向于知识图谱，在知识领域中进行知识的获取、融合储存、知识推理及知识体系间的应用，聚焦核心知识关联、整合、递进等。

数学知识图示以知识的关联、迁移等呈现为主，通过思维表征化外显的形态，体现数学知识与方法之间的内在逻辑关系，具有整体性、关联性、表征性、可视性等特点。图示的构建能促进学生在学习过程中的能动性，让学生自主将获取到的知识信息与原有的知识经验进行沟通、完善，不断整合、深化知识，形成系统结构、缜密的逻辑思维，从而促进学生数学素养发展（如图1）。

因此，将数学内容进行结构化设计可以使零散的内容与核心概念产生关联，知识的核心概念或关键概念、大概念、大观念等都可以用零散的内容联系起来，促进知识与方法的迁移，让学习呈现出不断进阶的形态。

三、图示构建下内容结构化设计应立足表现特征

建立具有结构化特点的数学知识体系，不仅方便学生从整体的角度去梳理、理解数学内容的思想方法，还能让学生感受数学知识的本质与内涵，体会到知识的迁移与应用的价值。

（一）整合学习内容，体现结构设计的整体性

不同的数学知识之间具有本质特征的关联，体现了数学内容与数学思想方法之间的聚合，呈现出整体性。小学数学的整体性就是把相同本质特征的数学知识内容进行整合，正如马云鹏教授多次提到的，把具有相同本质特征的内容放到一个主题里，通过主题整合的方式呈现，体现了数学内容的整体性。

由此，数学内容在横向发展中的四大领域主题不变，不同学段在纵向衔接过程中体现出学习内容的递进化。例如，第一至第三学段均有数与运算、数量关系内容，如“路程=速度×时间”在第三、四学段呈现更多的是物理量的变化关系，这样的整体性更加利于学生学习。

（二）突出学科本质，反映结构设计的一致性

小学数学四大领域内容，通过主题整合的方式呈现、划分为七大主题，充分体现了数学内容的整体性，还反映了主题内的知识本质的一致性，这正是内容结构化特征的一大特色。不难发现，通过学习内容主题重组的方式，数学学科本质一致性就是聚焦一个大主题统领的核心概念，将一个或几个核心概念贯穿于整个主题，虽然在不同学段的表现水平不一样，但本质特征均具有一致性，因而体现的核心素养也具有一致性。

例如，从四年级除法“商不变的性质”到五年级“分数的基本性质”再到六年级的“比的基本性质”，可以发现它们反映出除法、分数、比等三者之间的相关关系一致性的特点。又比如，在除法运算中，从整数除法的计量单位转换到小数除法的计数单位，它们之间表现出运算意义上的同步转化及细分单位的一致性，这样的关联在打通整数、小数意义的同时，建立了计量单位与计数单位之间表达的一致性。

（三）表现学生学习，呈现结构设计的阶段性

根据学生年龄特征和学习需要，小学阶段数学课程内容的各学习主题以螺旋式上升的方式被安排在三个学段。例如，第二学段“图形的认识与测量”内容，学生在平面图形、立体图形之间的关系认识过程中感悟图形的抽象，进而形成空间观念及初步的几何直观。到了第三学段，学生则在度量角度中加深对图形的认识，如三角形的三边关系可以借助小棒等学具探究发现，六年级可以借助尺规作图深入理解三边关系，由感性认识上升到理性认识，在体现内容的整体性和学科本质一致性的同时，各学段内容的选择和设计呈现明显的阶段性。

四、图示构建下内容结构化设计的实践路径

在小学数学知识图示构建中，教师可以深入融合跨学科元素设计图示的应用模型，主动建构知识，扩充知识背景及知识领域，在整合、统整知识中形成图示构建的有效模式，体现教、学、评的一致性。

（一）化多为少，分清主次，突出重点

在“数的认识”中，从整数到分数、小数，都是从数量多少到数的大小的抽象过程，数是数量的抽象，数的大小是数量的多少的抽象。可以看出，它们在数的读写、表示的意义、数的比较大小等方面具有一致性，不仅有助于理解数概念的本质，还可以迁移到数的运算中，体会数的运算本质上的一致性，切实感悟到计数单位的价值。

“新课标”在教学建议中指出：“在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。”“新课标”强调，数是对数量的抽象，注重打通数之间的关联、把握数的一致性。根据学生学习的特点，学生对于整数、小数、分数缺乏整体认识、关联理解。因此，在教学中，教师要帮助学生从数的意义、大小关系等方面多角度建立数概念间的联系，让学生经历具体—抽象—具体的思维过程，促进知识理解，有效迁移方法。鼓励学生认识“计数单位”核心概念，联结“十进制关系”，在计数单位个数“累加”中进一步体会计数单位的价值，感悟数的一致性，发展学生数感。

（二）化繁为简，深刻简约，彰显核心

“新课标”明确指出：“能进行简单的小数、分数的四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。”可见，数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，与算理直接相关的核心概念是“计数单位的‘累加’”，这一核心概念分布在四、五年级不同的运算单元中，而这些相关内容在学科本质上具有一致性，有助于实现知识和方法的迁移。学生通过化繁为简的方式，把分数转化为整数除法进行运算，可以沟通分数除法与小数除法之间的关系，与小数除法转化为整数除法的运算方法是一致的。学生在探究、说理、质疑、辨析等过程中，不断体会单位细分与商不变规律，在知识的联结与迁移中，进一步发展了运算能力和推理意识。

（三）化行为形，厘清发展，思维可视

数学知识之间具有点状、线性、链接式的特点，数学知识的缘由、定义、意义、特征及本质等形成了图示建构的勾连要素，各模块内容的重组、整合、聚焦等也表明学生在认知结构中已构建数学知识体系。下面笔者分别以单课时、单元内容结构设计为例，进行图示建构的相关说明。

1.单课时结构体现。平移是一种基本的图形变换，在小学数学知识领域中，平移是图形的位置与运动主题下的内容。学生在二年级已经初步感知了生活中的平移现象及特征，在动作表征中能借助方格图将简单的图形沿水平或垂直方向平移。教师要帮助学生建立空间观念，发展空间想象能力，在多元化的活动中感悟变与不变的数学思想方法（如图2）。

本图示的设计，基于直线运动核心内容，从位置、形状、大小等方面进行主动建构，在原有的认知基础上，在知识融合过程中将各个知识点联系起来，以此建构分层次的知识体系。学生聚焦核心内容，在主题任务结构下进一步发现、探索平移的特点，同时综合运用已储存的认知经验对平移进行辨析、判断，提升学生思维能力，进一步发展学生的空间观念。

2.单元结构设计体现。“平行四边形和梯形”这一单元是学生学习平行四边形、三角形、梯形等多边形面积的基础，也是学习长方体、正方体等几何体的基础。根据人教版教材内容编排可知，本单元的知识框架呈现的仅是点状知识，无法将碎片化的各知识模块进行组合、提炼。从整体上看，学生需要理解平行与垂直的概念，在操作、探究过程中掌握平行四边形和梯形的特征，同时会运用分类、比较、归纳等多种方式掌握各四边形之间的关系（如圖3）。

因此，在单元整体教学理念引领下，依据教材和学生认知规律，从课程视域、单元整体的视角，统筹规划、系统思考、全面育人，紧扣学段目标，从整体上建构内容丰富、形式多样、评价多元的数学知识体系。以数学知识为研究对象，通过思维可视化的方式揭示平面图形之间的内在逻辑关系及相互发展的关系，具有整体性、关联性、表征性、可视性等特点。教师一方面应引导学生从边的位置关系和角的特点去辨析图形特征，唤醒原有的经验感悟；另一方面教师将平行四边形与长方形、正方形、梯形等建立关联，将新获取的知识与已有知识经验进行多层次、不同角度地整合内化，形成知识系统结构，进一步发展学生的空间观念及几何直观等。

（作者单位：福建省厦门实验小学）