巧同构函数,妙解决问题

■江苏省江浦高级中学 经中进

在解决一些涉及函数或方程、代数式、不等式等相关问题时,经常需要对相应的函数或方程、代数式、不等式等进行恒等变形与巧妙转化,分析等式或不等式两边所涉及的关系式的结构特征,合理寻找共性或同型,巧妙同构函数,借助新函数的构建与基本性质的应用等来分析与解决问题。

一、函数值的确定

在函数值的确定等相关问题中,经常借助同构函数,使得不同变量条件下相应的函数值相等,利用函数的基本性质得以确定相关的变量相等,为接下来函数值的确定提供条件与应用。

例1已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),那么的值是( )。

分析：根据题设的关系式进行恒等变形,通过同构函数来确定新函数的周期性,进而对函数的值进行简化处理,利用题设函数的奇偶性来转化并确定相关函数的值,结合同构函数的基本性质来合理求值与应用。

故选择答案:A。

点评:借助函数关系式的结构特征进行合理同构函数,往往可以创设具有特殊函数基本性质(奇偶性、单调性或周期性等)的新函数,借助同构的新函数来进行合理解决问题,特别是在解决一些抽象函数问题时,更具效力。

二、大小关系的判断

在代数式的大小关系的判断等相关问题中,经常借助同构函数,利用函数的单调性的确定与性质应用,巧妙确定对应的变量的大小关系,是解决相关大小关系的判断中比较常用的一种技巧方法。

例2(2023 年山东省济南市章丘区高考数学模拟试卷(5 月份))已知α,β∈,且3α-2sinβ=9β-α,则( )。

A.α＜2βB.α＞2β

C.α＞β2D.α＜β2

分析：根据题设条件,先证明不等式x＞sinx成立,进而得以合理放缩题设条件中的不等式,合理配凑处理,巧妙同构函数,利用复合函数的单调性及其性质,得以确定相关代数式的大小关系问题。

解：设函数f(x)=x-sinx,x∈,求导得f'(x)=1-cosx＞0恒成立,即函数f(x)在上单调递增,所以f(x)＞f(0)=0,故x＞sinx。由于3α-2sinβ=9β-α,可得3α+α=2sinβ+9β=2sinβ+32β＜2β+32β。同构函数g(x)=3x+x,则知g(α)＜g(2β),结合指数函数与一次函数的基本性质,易得函数g(x)在R上单调递增,所以α＜2β。

故选择答案:A。

点评:含有一定条件(等式或不等式)的大小关系的比较问题,日渐成为新高考数学考试命题的一个热点。而多变量往往是这类问题中处理的一个难点,解决的途径通常是首先分离变量,结合表达式的结构特征,合理同构恰当的函数,借助函数的单调性与最值等相关问题来转化与应用。

三、代数式子的求值

在一些代数式子的求值等相关问题中,经常借助同构函数,结合函数的基本性质构建相应的函数值的关系,得以转化与变形对应的变量关系,得以构建相关的代数式子及对应的求值问题。

例3(2023 年江苏省南京师大附属扬子中学高考数学模拟试卷)已知实数a,b∈(0,2),且满足a2-b2-4=-2a-4b,那么a+b的值为____。

分析：根据题意,通过对方程进行合理的变形与配凑,使得等号两边具备同型的结构特征,进而合理同构函数,利用基本初等函数的性质确定相应同构函数的单调性,利用函数的单调性确定相关的变量相等,进而得以解决相关的代数式子的求值与应用问题。

解：由于a2-b2-4=-2a-4b,变形化简为a2+2a=22-b+(b-2)2,配凑可得a2+2a=(2-b)2+22-b,同构函数f(x)=x2+2x,结合幂函数与指数函数的基本性质,可知函数f(x)在(0,2)上单调递增。因为a,b∈(0,2),所以2-b∈(0,2),且f(a)=f(2-b),所以a=2-b,即a+b=2。

故填答案:2。

点评:在解决一些涉及指数、对数或幂函数等综合应用问题时,经常借助等式或不等式的恒等变形与转化,合理同构函数,借助基本初等函数的基本性质来转化,在解决一些代数式之间的参数关系、代数式的求值,以及大小关系的判断等方面,都可以达到巧妙切入与快速破解的目的。

四、参数范围的求解

在一些涉及参数的取值范围的求解等相关问题中,经常借助同构函数,使得含参的不等式加以巧妙变形与转化,利用分离参数及相关的技巧方法来进一步处理并解决对应的参数的取值范围问题。

例4若存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx＜alna成立,则实数a的取值范围为_____。

分析：依据题设中不等式的恒等变形与转化,合理配凑不等式,使得不等式两边的结构特征相似,进而寻找同型,同构函数,利用函数的单调性的判定与性质来转化,结合参数的分离,以及函数的单调性与最值的确定,得以巧妙求解参数的取值范围问题。

解：依题意,存在x∈(0,+∞),使得不等式ex-alnx＜alna成立,即ex＜alnx+alna=aln(ax)成立,亦即xex＜ax·ln(ax)=ln(ax)eln(ax)成立。

同构函数f(x)=xex,x∈(0,+∞),求导得f'(x)=(x+1)ex＞0 恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以只需当x∈(0,+∞)时,有x＜ln(ax)成立,即ex＜ax成立,亦即成立。

令函数g(x)=,x∈(0,+∞),求导得g'(x)=。

令g'(x)=0,解得x=1。

所以当x∈(0,1)时,g'(x)＜0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)＞0。

所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=e,所以实数a的取值范围为(e,+∞)。

故填答案:(e,+∞)。

点评:利用同构函数思维来巧妙转化含参不等式的恒成立问题,关键在于合理恒等变形,寻找共性,巧妙同构,将不等式问题转化为函数问题,借助函数的基本性质(单调性、最值等)来转化与应用。

在破解一些涉及函数或方程、代数式、不等式等问题时,创新数学意识,开拓数学思维,结合题设条件中的关系式或不等式的结构特征,借助慧眼识别、寻找、挖掘其中的同型或共性,合理同构函数,利用函数共性,巧妙转化问题,借助函数的基本性质(单调性、周期性、奇偶性等)来转化与解决,将一些比较复杂的相关问题转化为基本的函数问题来处理,不断增强创新意识、同构意识与创新应用,融合知识交汇,形成数学能力,培养数学核心素养。