考点“五明确”,题型“齐荟萃”——基于集合知识的考查

■江苏省泰兴市第三高级中学 顾德胜

集合知识是历年全国各省高考的必考内容之一。虽然高考还是考查集合的初步知识,但由于集合语言是现代数学的基本语言之一,因此考查的内涵极其丰富,考查的背景更是多彩多姿。考查集合的试题仍以客观题为主,加以单独知识点或多个知识点之间的整合,呈现的方式也各有特色。下面结合2023年全国高考试卷中的集合相关试题,从“五个明确”对集合知识的考查加以评析。

一、明确集合的表示

集合的表示是集合语言当中的重要内容,为了一目了然地表示一个集合的构成,要求准确把握各种集合的表示方法的特点,以及根据实际情况选择确切的方法表示集合,同时还要加大对各表示方法之间的相互转换。

例1(2023 年高考数学全国甲卷理科·1)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集,则∁U(A∪B)=( )。

A.{x|x=3k,k∈Z}

B.{x|x=3k-1,k∈Z}

C.{x|x=3k-2,k∈Z}

D.∅

分析：根据题设条件,明确集合A与集合B所表示的集合内涵,结合整数中除以3余数分别为0,1,2的三类加以分析,为进一步的集合运算提供条件。

解：依题知,集合A={x|x=3k+1,k∈Z}表示的是除以3余1的整数构成的集合,集合B={x|x=3k+2,k∈Z}表示的是除以3余2 的整数构成的集合,则∁U(A∪B)表示的是除以3余0的整数构成的集合,所以∁U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}。故选A。

点评:涉及集合的表示问题,要充分挖掘集合的内涵,同时注意各集合的表示方法之间的等价转化与应用,这往往是解决集合问题或综合交汇问题的关键所在,为进一步集合的应用提供条件。

二、明确元素的属性

利用描述法表示集合时,必须正确判断集合中元素的属性,利用集合中元素的属性来确定对应的集合,再加以分析与应用。

例2(2023 年高考数学全国乙卷理科·10)已知等差数列{an}的公差为,集合S={cosan|n∈N*},若S={a,b},则ab=( )。

分析：根据题设条件,结合等差数列的公差及对应的余弦函数的特点,确定集合S中的元素所构建数列的周期,只要在一个周期内,借助特殊值的计算来分析与确定集合S中元素的属性与相关值,即可达到目的。

点评:在处理集合的相关问题时,要充分理解并把握对应集合中的元素属性,有时可以用来直接求解,有时可以进行选项排除等,而这都离不开对应集合中的元素属性的理解与应用,要加以重视。

三、明确元素的特征

非空集合中的元素具备的特征是:确定性、互异性、无序性等。集合是由元素组成的,认清集合中元素的特征,并从元素入手是解决集合问题最常见的方法,也是关键所在。因此,需要我们明确集合中的元素的特征,根据相关的知识加以求解。

例3(2023年高考数学上海卷·13)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x∉Q},则M=( )。

A.{1} B.{2}

C.{1,2} D.{1,2,3}

分析：根据题目条件,集合M中的元素同时满足:x∈P且x∉Q,结合题设集合P与集合Q中的元素,逐个分析与判断,注意抓住集合中元素的特征,做到不重复不遗漏。

解：依题意,集合M={x|x∈P且x∉Q},则M={1}。故选A。

点评:此类以创新定义的形式给出集合中元素的特征问题,关键是充分理解并把握创新定义的内涵与实质,抓住创新定义中元素具备的特征,充分考查考生的阅读理解、逻辑推理及创新应用等能力。

四、明确集合的运算

集合之间的交、并运算的方法主要有:定义法、韦恩图法、数轴法等。选择适当的集合运算方法,结合相关知识加以求解。注意在集合的运算中,一般应把参与运算的各个集合化到最简形式,再进行运算。

例4(2023 年高考数学新高考Ⅰ卷·1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )。

A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}

C.{-2} D.{2}

分析：根据题设条件,先对集合N中的一元二次不等式加以求解,再利用两集合的交集运算来分析与求解。

解：依题意,可得N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}。故选C。

点评:涉及集合的运算问题,往往离不开一些不等式的求解、函数的定义域或值域的确定等相关问题,在此基础上,正确区分不同集合中元素的属性与特征,结合集合的运算加以转化与应用。

五、明确集合的关系

判断两个集合之间的关系——子集、真子集或补集等,就是要判断一个集合的元素是否是另一个集合的元素,从而加以判断几个集合之间的包含或相等关系。有时也通过符号法、数轴法、韦恩图法等加以分析与求解,特别是针对一些抽象集合问题。

例5(2023 年高考数学新高考Ⅱ卷·2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( )。

分析：根据题设条件,由两集合之间的包含关系A⊆B入手,结合集合A、B中元素的差异性,构建对应的方程,结合不同情况加以分类讨论,并结合参数值情况加以反馈,进而判断是否满足条件。

解：依题意,由于A⊆B,则a-2=0 或2a-2=0。当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足条件A⊆B,舍去;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足条件A⊆B。综上分析,可得a=1。故选B。

点评:在解决相关集合的关系问题时,根据题设条件加以全面细致分析,同时要注意对不同情况加以分类讨论,并结合所求结论加以合理反馈与验证。特别要注意集合之间的包含(或真包含)关系、补集思维或其运算性质,需要同学们在实际解题时加以灵活运用。

通过以上的“五个明确”,以及相关的2023年高考考题分析,集合部分考题通常表现在以下几个方面:用列举法或描述法给出集合后,考查空集或全集的概念;元素与集合,集合与集合之间的关系;集合的交、并、补运算;集合的有关术语和符号,如∈、∉、∪、∩、⊆、等。以集合的运算为载体,广泛应用于函数、不等式、三角、立体几何、解析几何等知识中,充分体现同学们对数学语言的理解和转化能力。