考点链接，题型归纳——导数及其应用

■江苏省通州高级中学 邵春燕

导数是近几年高考中的必考知识,通过导数研究函数的性质。在高考试题中,导数只不过是创设试题情境的一种取向,求导的过程并不难,它不是试题的最终落脚点,它的最终落脚点应是考查函数的性质、解不等式等重要的知识,以及等价转化、分类讨论等重要的数学思想方法。本文综合2023 年高考中导数及其应用的考查及各方面的信息反馈,总结导数及其应用的高考导向主要表现在以下几个方面。

一、导数的几何意义问题

对于导数的几何意义,有时直接考查相关的几何意义,但经常也通过几何意义的变换来加以考查,注意这是一大导向。利用导数的几何意义,可以求解曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率、切点、切线方程、参数等问题。

故选择答案:C。

点评:导数的几何意义在高考中的考查方式往往是通过给定切线的方程、切线的斜率、切线与已经直线的位置关系等,结合导数的运算、关系式的确定等来求解切线的相关问题(斜率、方程)、参数问题、切线的条数问题等,是高考中比较常见的考点之一,也是我们平时要加以熟练掌握的一个知识点。

二、函数的单调性问题

利用导数的符号判断函数的单调性,这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用,它充分体现了数形结合的思想方法。用导数研究函数的单调性,可以用来解决确定单调区间,判断函数单调性,处理相应的图像与参数问题,比较大小关系,以及证明不等式等,同时也是解决函数的极值与最值的基础所在。

例2(2023 年高考数学全国乙卷理科·16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是_____。

解析：因为f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)＞0在(0,+∞)上恒成立。

令g(x)=axlna+(1+a)xln(1+a),则g'(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,故导函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增。

所以f'(0)=lna+ln(1+a)≥0,即ln[a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1,结合a∈(0,1),解得≤a＜1,即a的取值范围是。

点评:判断函数的单调性或利用函数的单调性进行解题,都是命题中比较常见的题型。这里借助函数在给定区间上单调递增(或减),则其对应的导函数恒为正数(或负数),借助不等式的构建,为参数值的求解或其他相关应用奠定基础。在实际解题过程中,经常结合分类讨论、构造、转化与化归等数学思想方法。

三、函数的极值问题

函数的极值是研究函数在某一很小区域内的性质时给出的一个概念,是局部性的,它只是在与极值点近旁的所有点的函数值相比较为较大或较小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。函数的极值问题往往涉及极值的确定、参数的求解等问题,往往与函数的单调性一起加以考查。

例3(2023 年高考数学新高考Ⅱ卷·11)(多选题)若函数f(x)=alnx+既有极大值也有极小值,则下列结论正确的是( )。

A.bc＞0 B.ab＞0

C.b2+8ac＞0 D.ac＜0

故选择答案:BCD。

四、函数的综合应用问题

导数是近几年高考中的必考知识,通过导数研究函数的基本性质,合理联系起函数的单调性、极值或最值,并与方程、不等式等方面进行交汇,融合函数与导数的知识在解答题中的应用。

例4(2023 年高考数学新高考Ⅰ卷·19)已知函数f(x)=a(ex+a)-x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明:当a＞0时,f(x)＞2lna+。

解析：(1)依题知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=aex-1。

若a≤0,则f'(x)＜0,故函数f(x)在R上单调递减。

若a＞0,由f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna。则当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)＜0,函数f(x)单调递减;当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)＞0,函数f(x)单调递增。

综上分析,当a≤0 时,函数f(x)在R上单调递减;当a＞0时,函数f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增。

(2)由(1)知,当a＞0 时,f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna。

点评:此类涉及函数的不等式恒成立或证明不等式问题,解题思维与方向相对比较明确,关键就是构造比较恰当的函数,把不等式恒成立问题加以合理转化,借助导数法研究函数的单调性、极值或最值问题。

涉及导数及其应用问题,关键是理解与掌握导数的概念、导数的几何意义,充分理解导数的基本运算,会用导数求函数的单调区间、极值及闭区间上的最值问题,并会利用导数解决实际问题。这部分内容主要考查:导数的相关概念及其运算,以及利用导数来解决相应的函数问题等。一般概念与运算问题以选择题或填空题的形式出现,而利用导数研究函数性质问题以解答题的形式出现。