导函数的混合还原类型及应用

■江苏省通州高级中学

对于一个含有函数f(x)与其导函数f'(x)混合的不等式问题,多数同学对其感到困惑,难以有效切入,导致解题思路受阻,造成解题障碍或失败。解决此类导函数的混合还原问题,往往需要构造新函数,并根据题意判断新函数的导数符号,通过单调性的判断来加以变形与解决。因此,正确还原出原函数(即新函数),便成为破解此类导函数的混合还原问题的关键,也体现了函数考查的基础性、灵活性与规律性等。

一、线性运算型

对于题设条件或所求结论中给出形如f'(x)±g'(x),f'(x)g(x)±f(x)g'(x)等的结构式,往往通过构造两个对应函数的加(或减)、乘(或除)的线性运算型的新函数F(x)=f(x)±g(x),F(x)=f(x)g(x)来分析与解决问题。

例1(多选题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)＜,则对任意的x1,x2∈(0,+∞),其中x1≠x2,下列不等式中一定成立的是( )。

A.f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)

B.f(x1)+f(x2)＜·f(x2)

D.f(x1x2)＜f(x1)f(x2)

取f(x)=1,符合题意,此时f(x1x2)=f(x1)f(x2)=1,故选项D 错误。

故选择答案:ABC。

点评:正确构建与导函数的混合还原类型相吻合的新函数,通过求导处理,结合新函数的单调性来进一步展开与转化。此类以多选题创新题型出现,经常要对新函数的单调性加以多视角变形与转化,有时还要结合一般特殊函数的构建,以特殊值的形式来判断选项的错误性等问题。

二、方幂型

对于题设条件或所求结论中给出形如xf'(x)±nf(x)等的结构式,往往通过构造一个对应函数与xn的乘(或除)的方幂型的新函数F(x)=xnf(x)（或F(x)=）来分析与解决问题。

例2设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足3f(x)+xf'(x)＞0,则不等式(x+2 023)3·f(x+2 023)+8f(-2)＞0 的解集是_____。

解析：根据题意,构造新函数g(x)=x3f(x)(x＜0),则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]＞0,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递增。

又不等式(x+2 023)3f(x+2 023)+8f(-2)＞0 等价于(x+2 023)3f(x+2 023)＞(-2)3f(-2),即g(x+2 023)＞g(-2),结合函数的单调性可得-2＜x+2 023＜0,解得-2 025＜x＜-2 023。

故填答案:(-2 025,-2 023)。

点评:准确构建与题设条件相吻合的新函数是解决导函数的混合还原类型问题的根本所在,需要同学们必须掌握一些基本类型,并构建与题设相吻合的新函数。同时还要注意合理变形与转化所求的不等式,使得题设条件与所求结论之间是相吻合的。

三、指数型

对于题设条件或所求结论中给出形如f'(x)±f(x)等的结构式,往往通过构造一个对应函数与ex(或其他指数函数)的乘(或除)的指数型的新函数F(x)=exf(x)（或F(x)=）来分析与解决问题。

例3定义在R上的函数f(x)满足:f(x)＞1-f'(x),f(0)=0,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)＞ex-1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )。

A.(0,+∞)

B.(-∞,-1)∪(0,+∞)

C.(-∞,0)∪(1,+∞)

D.(-1,+∞)

解析：依题意f(x)＞1-f'(x),可得f(x)+f'(x)-1＞0。构造新函数g(x)=exf(x)-ex,则g(0)=e0f(0)-e0=-1,g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]＞0,故函数g(x)在R上单调递增。

又不等式exf(x)＞ex-1 等价于exf(x)-ex＞-1,即g(x)＞g(0),结合函数的单调性可得x＞0。

故选择答案:A。

点评:在构建新函数时,要结合题设条件中关系式的结构特征加以合理构建,有时还要进行必要的线性运算处理,注意细节,合理配凑,构建与题设条件相吻合的抽象函数,使之更准确地还原导函数的本质与运算性质。

四、对数型

对于题设条件或所求结论中给出形如f(x)与lnx(或其他对数函数)的乘除组合等的结构式,往往通过构造一个对应函数与lnx的乘(或除)的对数型的新函数来分析与解决问题。

例4已知定义在[e,+∞)上的函数f(x)满足:f(x)+xf'(x)lnx＜0,且f(2 023)=0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,e是自然对数的底数,则不等式f(x)＞0的解集为( )。

A.[e,e+1) B.[e,2 023)

C.[2 023,+∞) D.(e,+∞)

解析：根据题意,构造新函数g(x)=f(x)lnx(x≥e),此时有g(2 023)=f(2 023)ln 2 023=0,lnx≥1＞0,则g'(x)=f'(x)lnx+＜0,所以函数g(x)在[e,+∞)上单调递减。

又不等式f(x)＞0等价于f(x)lnx=g(x)＞0,即g(x)＞g(2 023),结合函数的单调性可得e≤x＜2 023。

故选择答案:B。

点评:在解决与抽象函数相关的导函数的还原对数型问题时,涉及函数的单调性、不等式的解集等相关问题,在具体的解题过程中,还要特别注意函数的定义域,在函数的定义域内加以分析与应用。

五、三角函数型

对于题设条件或所求结论中给出形如f(x)与sinx或cosx乘除组合等的结构式,往往通过构造一个对应函数与sinx或cosx的乘(或除)的三角函数型的新函数来分析与解决问题。

故选择答案:C。

点评:联系已知题目条件和结论,还原导函数的本质,正确构建与三角函数相关的抽象函数是解决问题的关键。特别地,在解一些复杂的不等式问题时,要合理根据新构建的函数及对应导函数的“形状”变换所求不等式的“形状”,从而准确构建题设与结论之间的有机联系,实现无缝链接。

解决导函数的混合还原问题,先在明确题设条件中关系式或不等式的实质,结合函数f(x)与其导函数f'(x)混合的关系式或不等式的结构特征,对问题的条件和结论进行对比、概括,合理数学抽象,判断对应的函数类型与代数运算的基本性质,准确构建出吻合题设条件的新函数,为进一步的问题分析与应用奠定基础,也是解决此类问题的关键点和难点所在。