导数易错题归类分析

■河南省许昌市建安区第一高级中学 李丹

在高中阶段,导数是研究函数等知识的重要工具。利用导数研究函数的性质,主要涉及以下四个问题:(1)理解导数与函数的关系;(2)利用导数求函数的切线;(3)利用导数求函数的单调区间;(4)利用导数求函数的极值和最值。这些内容都是高考的重点和难点,每一个考点都要求理解透彻,否则做题时很容易出错。现将导数中的易错题整理如下,希望对同学们的复习备考能有所帮助。

一、没有正确理解导数定义致错

二、求导时忽视常数致错

例2若f(x)=e5+5x,则f'(x)=____。

错解：f'(x)=5e4+5xln 5。

错因分析：求导数时忽视了常数的导数值为零,把e5误以为x5出错。做题时常见的错误还有、f(x)=x2+f(1)求导得f'(x)=2x+f'(1)等。

正解：f'(x)=5xln 5。

三、求切线时忽视切点的位置致错

例3已知过曲线f(x)=上的点P的切线方程为12x-3y-16=0,求点P的坐标和切点坐标。

错解：f'(x)=x2,设点P的坐标为(x0,y0),由题意知f'(x0)==4,解得x0=±2,所以。

错因分析：过曲线的某一点作切线,此点不一定是切点;若是曲线在某一点的切线,此点必定是切点。因此,做题时一定要区分函数在某点处的切线和过某点的切线,表述的意思是不同的。

四、忽视极值的存在条件致错

例4已知x=0是函数f(x)=eaxln(x+a)的极值点,求实数a的值。

错解：f'(x)=,又因为x=0是f(x)的极值点,所以f'(0)==0,解得a=±1。

错因分析：错解中把f'(x0)为极值的必要条件当作了充要条件,f'(x0)为极值的充要条件是f'(x0)=0且x0附近两侧的符号相反。涉及含参函数的极大值、极小值问题,利用f'(x0)=0 求出参数后,还要检验是否满足极大值(左升右降)、极小值(左降右升)的条件。因此,本题中由f'(0)=0求得a的值后还要检验所得的结果是否满足为函数的极值点。

正解：前面同错解,若a=-1,则f(x)=e-x-ln(x-1),当x=0时,f(x)的表达式无意义,舍去。若a=1,则f(x)=exln(x+1),求导得f'(x)=。当-1＜x＜0时,f'(x)＜0,函数f(x)单调递减;当x＞0时,f'(x)＞0,函数f(x)单调递增。所以a=1是函数f(x)的极值点,故a=1。

五、忽视单调性的条件致错

例5已知函数f(x)=(a为常数)在(-1,1)上为增函数,求实数a的取值范围。

错解：f'(x)=,由题意可得f'(x)=≥0在(-1,1)上恒成立,即a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞)。

错因分析：课本上给出有关单调性的结论是:若f(x)在(a,b)上有f'(x)＞0,则有f(x)在(a,b)上为单调递增函数;若f(x)在(a,b)上有f'(x)＜0,则有f(x)在(a,b)上为单调递减函数。需要注意的是这个条件只是判断单调性的充分条件,而不是必要条件,改成充要条件是:若f(x)在(a,b)上有f'(x)≥0(或f'(x)≤0)(但这里满足f'(x)=0的点应只是个别点,也就是f'(x)不能恒等于零),则有f(x)在(a,b)上为单调递增(减)函数。

正解：f'(x)=,由题意可得f'(x)=≥0在(-1,1)上恒成立,即a≥1,而当a=1时,f'(x)=0恒成立,所以当a=1时,f(x)不是单调函数。

综上,实数a的取值范围是(1,+∞)。