高考中关于导数构造问题的题型探析

■甘肃省嘉峪关市第一中学

导数构造问题是高考中的高频考点,常常需要根据导数的结构特点构造合适的函数,进而利用函数的单调性与奇偶性等求解。对同学们的数据分析能力、推理能力、计算能力等要求很高,题目的难度一般都属于中等以上。本文梳理总结了八种题型,集中体现了由“导”寻“源”之根本所在。

题型一、函数与幂函数乘法的构造

本题型主要涉及两种结构:对于xf'(x)+f(x)＞0(或＜0),构造g(x)=x·f(x);对于xf'(x)+kf(x)＞0(或＜0),构造g(x)=xk·f(x)。

例1已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足f'(x)+＞0,则不等式的解集为( )。

A.{x|x＞-2 020}

B.{x|x＜-2 020}

C.{x|-2 023＜x＜0}

D.{x|-2 023＜x＜-2 020}

解析：根据题意,设g(x)=x2f(x),x＞0,则g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)。因为函数f(x)在区间(0,+∞)上满足f'(x)+＞0,则有x2f'(x)+2xf(x)＞0,所以g'(x)＞0,即函数g(x)在区间(0,+∞)上为增函数。由(x+2 023)2f(x+2 023)＜32f(3),所以g(x+2 023)＜g(3),则有0＜x+2 023＜3,解得-2 023＜x＜-2 020,即所求不等式的解集为{x|-2 023＜x＜-2 020}。故选D。

例2已知定义在R上的函数f(x)满足:函数f(x)为奇函数,且当x＜0时,f(x)+xf'(x)＞0成立(f'(x)为f(x)的导函数)。若a=-f(-1),b=(ln 2)f(ln 2),c=,则a,b,c的大小关系为( )。

A.a＞c＞bB.b＞a＞c

C.c＞b＞aD.a＞b＞c

解析：设g(x)=xf(x),x＜0,则g'(x)=f(x)+xf'(x)。因为当x＜0时,f(x)+xf'(x)＞0成立,所以g'(x)＞0,g(x)为单调递增函数。又因为函数f(x)为奇函数,可得f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-x·f(-x)=xf(x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)在(0,+∞)上为单调递减函数。由a=-f(-1)=g(-1)=g(1),b=(ln 2)f(ln 2)=g(ln 2),c==2f(2)=g(2),又因为ln 2＜1＜2,所以g(ln 2)＞g(1)＞g(2),即b＞a＞c。故选B。

题型二、函数与幂函数除法的构造

本题型主要涉及两种结构:对于x·f'(x)-f(x)＞0(或＜0),构造g(x)=;对于x·f'(x)-kf(x)＞0(或＜0),构造g(x)=。

例3设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且xf'(x)＞2f(x),则不等式4f(x-2 022)-(x-2 022)2f(2)＜0 的解集为( )。

A.(2 022,2 023) B.(2 022,2 024)

C.(2 022,+∞) D.(0,2 023)

题型三、函数与指数函数乘法的构造

本题型主要涉及两种结构:对于f'(x)+f(x)＞0(或＜0),构造g(x)=ex·f(x);对于f'(x)+kf(x)＞0(或＜0),构造g(x)=ekx·f(x)。

例5已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)+f'(x)＜0,则下列不等式一定成立的是( )。

A.e2f(2)＜f(3) B.e2f(2)＞f(3)

C.f(2)＜e2f(3) D.f(2)＞e2f(3)

解析：令g(x)=e2xf(x),则g'(x)=2e2x·f(x)+e2xf'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)]。因为e2x＞0,2f(x)+f'(x)＜0,所以g'(x)＜0,所以g(x)为减函数,所以g(2)＞g(3),即e4·f(2)＞e6f(3),所以f(2)＞e2f(3)。故选D。

例6已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,对于任意的实数x,都有f(x)=,当x＞0时,f(x)+f'(x)＞0,若ea-1f(2a+1)≥f(a+2),则实数a的取值范围为( )。

A.[-1,1]

B.[-2,2]

C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

解析：因为f(x)=,所以=exf(x)=e-xf(-x)。令g(x)=exf(x),则g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数。当x＞0 时,f(x)+f'(x)＞0,所以g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]＞0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)在(-∞,0)上单调递减。由ea-1f(2a+1)≥f(a+2),可得e2a+1f(2a+1)≥ea+2f(a+2),所以g(2a+1)≥g(a+2),即|2a+1|≥|a+2|,解得a≤-1或a≥1。故选C。

题型四、函数与指数函数除法的构造

本题型主要涉及两种结构:对于f'(x)-f(x)＞0(或＜0),构造g(x)=;对于f'(x)-kf(x)＞0(或＜0),构造g(x)=。

例7已知函数f(x)在x＞0上可导且满足f'(x)-f(x)＞0,则下列不等式一定成立的是( )。

A.f(2)＞ef(3) B.f(3)＜ef(2)

C.f(3)＞ef(2) D.f(2)＜ef(3)

题型五、函数与三角函数乘法的构造

本题型主要涉及两种结构:对于sinx·f'(x)+cosx·f(x)＞0(或＜0),构造g(x)=f(x)·sinx;对于cosx·f'(x)-sinx·f(x)＞0(或＜0),构造g(x)=f(x)·cosx。(注意有正切时要将切化为弦)

题型六、函数与三角函数除法的构造

题型七、与常数有关的构造

本题型主要涉及两种结构:对于f'(x)+f(x)＞k(或＜k),构造g(x)=ex[f(x)-k];对于f'(x)-f(x)＞k(或＜k),构造g(x)=。

例13已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)＞1,且f(1)=4,则关于x的不等式exf(x)＞ex+3e的解集为( )。

A.(-∞,0) B.(-∞,1)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

解析：设g(x)=exf(x)-ex(x∈R),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]。因为f(x)+f'(x)＞1,所以f(x)+f'(x)-1＞0。又ex＞0,所以g'(x)＞0,所以g(x)在定义域上单调递增。对于不等式exf(x)＞ex+3e 转化为exf(x)-ex＞3e,又f(0)=3,所以g(1)=ef(1)-e=3e,所以g(x)＞g(1),而g(x)在定义域上单调递增,所以x＞1。故选D。

例14设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),若f'(x)＞f(x)+1,f(x)+f(a-x)=2,f(a)=5,则不等式f(x)+2ex+1＜0的解集为( )。

A.(0,2) B.(3,5)

C.(-∞,0) D.(0,+∞)

题型八、复杂型的构造问题

本题型主要涉及两种结构:y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除等各种形式;对于f'(x)lnx+＞0(或＜0),构造g(x)=lnx·f(x)。

例15若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+x+f'(x)+1＞2e-x,f(0)=5,则不等式f(x)＞(2x+5)e-x-x的解集为( )。

A.(-∞,0)∪(0,+∞)

B.(-∞,0)∪(5,+∞)

C.(0,+∞)

D.(5,+∞)

解析：令g(x)=ex[f(x)+x]-2x,则g'(x)=ex[f(x)+x]+ex[f'(x)+1]-2=ex[f(x)+x+f'(x)+1]-2＞ex·2e-x-2=0,所以g(x)在R上单调递增。又因为g(0)=e0[f(0)+0]-2×0=5,由f(x)＞(2x+5)e-x-x,得f(x)+x＞(2x+5)e-x,两边同时乘以ex,得ex[f(x)+x]＞2x+5,得ex[f(x)+x]-2x＞5,即g(x)＞g(0),解得x＞0,即所求不等式的解集为(0,+∞)。故选C。

例16已知奇函数f(x)在R上是单调函数,函数f'(x)是其导函数,当x＞0时,f'(x)lnx＜,则使f(x)＞0 成立的x的取值范围是( )。

A.(-∞,0) B.(-1,0)

C.(0,1) D.(0,+∞)

解析：当x＞0 时,f'(x)lnx＜·f(x),即f'(x)lnx+＜0。令g(x)=f(x)·lnx,则g'(x)=f'(x)·lnx+＜0,所以g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,且g(1)=f(1)·ln 1=0,所以当0＜x＜1 时,g(x)=f(x)·lnx＞0,由于此时lnx＜0,则f(x)＜0 不合题意;当x＞1 时,g(x)=f(x)·lnx＜0,由于此时lnx＞0,则f(x)＜0不合题意。由上可知,当x＞0时,f(x)＜0,而f(x)是R上的奇函数,则当x＜0时,f(x)＞0恒成立,所以使f(x)＞0成立的x的取值范围为(-∞,0)。故选A。

对于与上述有关的导数综合问题,一定要先对已知式子进行分析,通过对导数“源头”的寻找,合理地构造出合适的函数,然后利用函数的奇偶性和单调性等进行解题。同学们会发现,通过构造函数进行解题可达到事半功倍的效果,所以对各种同构题型的总结与梳理是非常有必要的。