一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧

2023-09-22孙新晓

中学生数理化·高一版 2023年9期

■孙新晓

一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一。解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式、一元二次方程和二次函数这三个“二次”问题,实现三个“二次”问题之间的相互转化。下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法。

一、一元二次不等式在R上的恒成立问题

涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解。

例1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0对一切x∈R 恒成立,则实数a的取值范围是( )。

A.{a|a≤2}

B.{a|-2≤a≤2}

C.{a|-2＜a≤2}

D.{a|a＜-2}

分析：在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围。

解：当a-2=0,即a=2时,原不等式可化为-4＜0,显然对一切x∈R 恒成立;当a≠2时,则整理得解得-2＜a＜2。

综上可得,实数a的取值范围是{a|-2＜a≤2}。应选C。

在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)对任意实数x∈R 恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c＜0(a≠0)对任意实数x∈R 恒成立需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况。

二、一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题

涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理。在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想、数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用。

例2已知函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意x∈{x|1≤x≤3},f(x)＜5-m恒成立,则实数m的取值范围是_____。

分析：利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围。

解：要使不等式f(x)＜-m+5对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,只需不等式对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立。解决此题有下面两种方法。(函数法)令函数

当m=0时,显然-6＜0恒成立;

当m＞0时,函数g(x)在{x|1≤x≤3}上是增函数,所以g(x)max=g(3),则g(3)=7m-6＜0,解得m＜,这时0＜m＜;

当m＜0时,函数g(x)在{x|1≤x≤3}上是减函数,所以g(x)max=g(1),则g(1)=m-6＜0,解得m＜6,这时m＜0。

综上所述,所求实数m的取值范围是

解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f(x)＞0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f(x)的值域为{y|m≤y≤n},则f(x)≥a恒成立,可得f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立,可得f(x)max≤a,即n≤a。