空集，一个不容忽视的集合

■王佩其

空集,是集合家族中一个最不起眼的成员,常常被人忽视。但你一旦把它忽视,你就会被它“耍了”。因此,在学习集合时,同学们一定要重视空集。

一、空集∅虽然不含任何元素,但它是客观存在的

例1给出下列关系式:①若A=∅,B=∅,则A=B;②∅={∅};③∅={0};;⑤设全集U=R,则∁UR=∅。其中正确关系式的序号是____。

解：空集是不含任何元素的集合,所有的空集都是相等的,①正确。∅和{∅}都是集合,其中∅不含任何元素,而{∅}是含有一个元素∅的集合,故∅≠{∅},②错误。同理③错误。显然方程=0无解,即∅,④正确。全集U=R,∁UR 是一个不含任何元素的集合,即∁UR=∅,⑤正确。正确关系式的序号是①④⑤。

空集是不含任何元素的集合,故不能用列举法或描述法把它表示出来,只能用一个专用符号∅来表示空集。

二、空集是任何集合的子集

例2设全集U=R,M={x|3a＜x＜2a+5},P={x|-2≤x≤1}。若M⊆∁UP,求实数a的取值范围。

解：因为全集U=R,P={x|-2≤x≤1},所以∁UP={x|x＜-2或x＞1}。

因为M⊆∁UP,所以分M=∅,M≠∅这两种情况讨论。由题意画出数轴,如图1所示。

图1

对于此类问题,忽视空集是一种常见错误,请同学们切记。在研究集合之间的关系时,Venn图和数轴是两个常用的工具,用它们反映集合之间的关系直观、形象,便于发现和研究问题。

三、空集是任何非空集合的真子集

例3设集合,则集合A的真子集的个数为____。

解：要使,且x∈Z,需满足2+x=1,2+x=2,2+x=3 或2+x=6,所 以x=-1,x=0,x=1或x=4。所以集合A={-1,0,1,4}。

集合A={-1,0,1,4}的子集为∅,{-1},{0},{1},{4},{-1,0},{-1,1},{-1,4},{0,1},{0,4},{1,4},{-1,0,1},{-1,0,4},{-1,1,4},{0,1,4},{-1,0,1,4},共16个子集。

去掉集合{-1,0,1,4},则集合A的真子集的个数为16-1=15。

一个共有n个元素的集合A的子集个数为2n;去掉其本身,即得集合A的真子集的个数为2n-1;去掉空集,即得集合A的非空子集的个数为2n-1;两个都去掉,即得集合A的非空真子集的个数为2n-2。