集合与常用逻辑用语典型题型解析

■孙艳秋

集合与常用逻辑用语是高中数学课程的预备知识,它是后续学习数学表达和交流的重要工具,所以要打好基础,在理解有关概念和性质的基础上,掌握集合与常用逻辑用语的典型题型。

一、含参数的集合运算问题

例1已知集合A={x|x＜a},B={x|x2-3x+2＜0},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是( )。

解：因为B={x|x2-3x+2＜0}={x|1＜x＜2},所以∁RB=(-∞,1]∪[2,+∞)。又A={x|x＜a},且A∪（ ∁RB）=R,所以实数a的取值范围是{a|a≥2}。应选C。

提炼：与不等式有关的集合问题,一般利用数轴可以帮助解决,但要注意端点值能否取到。

二、以集合为背景,设置新定义

例2若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数,已知所有1 位正整数的自恋数组成集合A,集合则A∩B真子集的个数为( )。A.3 B.4 C.7 D.8

解：结合新定义可知,集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。因为B={x∈Z|-3＜x＜4},所以A∩B={1,2,3},所以A∩B真子集的个数为23-1=7。应选C。

提炼：解决集合新定义问题的两个切入点:分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求“照章办事”;合理利用集合的性质。

三、充分条件与必要条件

例3(1)已知命题p:一元二次方程x2+bx+c=0 有一正根和一负根,q:c＜0,则p是q的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)已知命题p:关于x的方程x2-4x+a=0无实根,若p为真命题的充分不必要条件为a＞3m+1,则实数m的取值范围是( )。

A.[1,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,1) D.(-∞,1]

解：(1)因为方程x2+bx+c=0有一正根和一负根,所以

所以p⇒q,q⇒p,即p是q的充要条件。应选C。

(2)因为p为真命题,所以Δ=(-4)2-4a＜0,解得a＞4。若p为真命题的充分不必要条件为a＞3m+1,则等价于(3m+1,+∞)(4,+∞),所以3m+1＞4,解得m＞1。应选B。

提炼：在A是B的____条件中,A是条件,B是结论,在A的_____条件是B中,B是条件,A是结论。A⇒B与¬B⇒¬A,A⇔B与B⇔A是等价关系。若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A,B互为充要条件。

四、全称量词与存在量词

例4已知命题p:∀x∈R,x2+2x+1＞0。写出命题p的否定;判断命题p的真假,并说明理由。

解：由命题p:∀x∈R,x2+2x+1＞0,可得命题p的否定为∃x0∈R,x20+2x0+1≤0。因为y=x2+2x+1=(x+1)2≥0(当且仅当x=-1时取等号),所以命题p为假命题。

提炼：判断全称量词命题是真命题,需证明都成立;判断存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可,当一个命题的真假不易判断时,可以先判断其否定的真假。