基本不等式求最值的题型及解题策略

■喻 芳

题型一：简单的和或积为定值求最值

例1(1)已知x,y,z都是正实数,若xyz=1,则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为( )。

A.2 B.4

C.6 D.8

(2)已知0＜x＜1,则函数f(x)=x3(1-x3)的最大值为____。

感悟：基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件。

题型二：配凑法构造和或积为定值求最值

例2(1)已知x＜,求y=4x-2+的最大值。

(2)若x≥,则有( )。

C.最大值2 D.最小值2

感悟：形如的分式函数求最值,可化为0,B＞0),这里g(x)恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值。

题型三：常数代换法求最值

例3已知p,q为正实数,且p+q=3,

感悟：常数代换法适用于求解条件最值问题。

题型四：消元法求最值

例4若正实数x,y,z满足x2+4y2=z+3xy,则当取最大值时的最大值为____。

感悟：解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围。

题型五：换元法求最值

例5若正数a,b满足2a+b=1,则的最小值是____。

感悟：换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值。

题型六：构建不等式求最值

例6(1)已知正实数x,y满足xy=x+y+8,则x+y的最小值为____。

(2)已知x,y∈R+,若x+y+xy=8,则xy的最大值为_____。

感悟：利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于“和”或“积”的不等式,解此不等式可得“和”或“积”的最值。