基于“数学理解层级”的教学设计策略思考①——以初中数学教学为例

叶旭山

(南京市建邺区教师发展中心 210017)

“数学理解”是数学教学研究者持续关注的重要话题．斯根普将数学理解划分为工具性理解和关系性理解[1];李士锜认为:如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构,并使之成为个人内部网络的一部分,那才说明对一个数学概念、原理、法则是理解了[2];类似地,吕林海的研究表示,要对知识进行深刻、真正的理解意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的,而不是零碎的、只言片语的[3]．这些研究表明:关于数学理解的观点虽然众多,但普遍认为数学理解是分层级的,大致划分为四个层级:散点理解、链式理解、网状理解和形上理解,呈现从无序到有序、从有形到有魂、从看得见到看不见的层级递进过程,具体表现特征如图1．

图1

已有的研究大多数都是对“数学理解”的思辨性研究,其内涵丰富、复杂多元、理论性强,缺乏可操作性,尤其是针对不同层级的数学理解进行针对性的教学设计,以及如何设计教学以实现“数学理解”层级的提升则少之又少.本文结合初中数学教学实践,对基于“数学理解层级”的教学设计策略做如下探索.

1 注重教学原料的精心选取,提升学习素材的“散点”品质

散点理解层级表现为学生对所学知识能够一个个零零散散的理解,就像离散的点一样,呈现单点独立状态,无法多点关联,不能将这些散点之间的共性和关联提炼出来,对所学知识的理解停留在表象,思维处于零乱无序的状态,无法收敛．对此,教师在进行教学设计时,要尽可能促进学生的数学理解由散点层级顺利地上升到链式层级,甚至能够达到网状层级,这就要求教师在进行教学设计时,需要精心选取教学“原料”,提升“散点”的品质,就像厨师做菜前要精心选择食材一样,为美味佳肴的研制提供可能性．

案例1一次函数概念(苏科版八年级上)

一次函数概念的形成需要从现实生活中大量的具体情境出发得到具体的函数关系式,然后概括其共同特征,逐步建构一次函数的概念,这本质上是一个模型提炼的过程．通常情况下,大多数教师会选择3个左右符合一次函数模型的情境,组织学生概括提炼形成概念．基于“数学理解层级”,笔者设计如下问题情境:

(1)如图2,水池中原有水450 m3,每小时进水15 m3．进水th后,水池中有水ym3,则y(m3)与t(h)之间有怎样的函数关系?

图2

(2)某汽车加油前,油箱里还剩6 L油,已知给汽车加油的加油枪流量为25 L/min．加油过程中,油箱里的油量Q(L)与加油时间x(min)之间有怎样的函数关系?

(3)某地参加乒乓球比赛的费用包含两个部分:一部分是租用比赛场地等固定不变的费用100元,另一部分是每人要交80元的参赛费．参加乒乓球比赛的费用y(元)与参加人数x(人)之间有怎样的函数关系?

(4)已知正方形的边长为x(m),正方形的面积S(m2)与边长x(m)之间有怎样的函数关系?

追问1:仔细观察所列函数关系式,如何将上面的函数进行分类?

追问2:上述问题中所得的函数是一次函数关系的这些情境具有什么共同特征?[4]

情境(1)(2)(3)(4)作为散点“原料”,选材多样,层级递进．情境(1)的“水池”(如图2),起到统领模型的作用,情境(2)的“油箱”可以直观想象替换为“水池”,情境(3)的“参加比赛的费用”需要较高的抽象才能替换为“水池”的情境,总体上情境(1)(2)(3)属于内部层级递进,都属于一次函数类别,而情境(4)则属于二次函数类别．

通过追问1,倒逼学生经历分类的过程,进一步提炼出一次函数解析形式上的本质特征为自变量是一次,此时达到链式理解层级;再通过追问2,引导学生思考情境(1)(2)(3)之间的关联,借助于“水池图”(如图2)解释3个情境,使得一次函数能够更加直观形象,促进学生理解并总结出一次函数的现实意义为“总体=原始固定部分+均匀线性变化部分”,此时达到新的链式理解层级．在此基础上,再让学生感受一次函数中k、b的现实意义和解析意义的对应,力图达到网状理解层级．这样精心选取教学“原料”,尤其是精心打磨“水池图”,目的在于促进学生的数学理解由散点层级上升到链式甚至网状层级．因此,教师在教学设计时,只有对学习素材的每一个“散点”的品质仔细考量、精心打磨,这样随着教学进程的推进,高品质的“散点”才有可能促进学生数学理解层级的提升．

2 重视教学素材的重新组合,挖掘学习内容的“链式”内涵

链式理解层级表现为学生能将所学知识中许多独立的相关特征勾连起来,概括提炼其共性,把一个个散落的点串成一条线,使其统一为一个有机整体,形成链式联系．为此,在进行教学设计时,教师充分挖掘学习内容之间的内涵,找到学习内容主干之间的内在关联,通过对所选素材的进一步梳理与重组来设计教学,进而促进学生的数学理解由散点层级向链式层级迈进．

案例2丰富的图形世界(苏科版七年级上)

教材首先将现实生活中的物体抽象为数学中的几何体(圆柱、圆锥、正方体、长方体、球),紧接着介绍点线面之间的关系,然后以棱柱和棱锥为例介绍几何体的侧棱、顶点、侧面等概念,进一步理性认识几何体．大多数教师的教学设计仅仅停留在这些基本知识点的掌握上,学生基本了解生活中抽象出来的丰富的几何体的特征,能够掌握三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥等一个个孤立的棱柱及棱锥的顶点、侧棱、侧面等方面的特征,但还不能把这些棱柱及棱锥放在一起思考并概括出它们之间的关联,这样的学习仍然停留在散点理解层级．

基于“数学理解层级”,需要充分挖掘几何体之间的“链式”内涵,大胆进行素材重组．通过精心设计的板书助力学生将棱柱和棱锥放在一起思考,并分别概括出它们之间的共同特征,进一步联想到极限状态下的圆柱(如图3)和圆锥(如图4),此时学生不仅将上述孤立的几何体用链条串了起来,而且还将链条延伸到更深的层面．

图3

图4

图5

学生在充分理解单个的“柱体”的特征之后,能够将所有的棱柱联系在一起看,最后能够看到“棱柱”与“圆柱”之间的关联,这样的理解就达到了链式理解层级;在此经验基础上进一步学习“锥体”的相关内容,同样可以达到另外一条链式理解层级．在此基础上,经验丰富的教师如果能引导学生体会“柱体”与“锥体”的纵向联系,让学生理解数学对象的内在本质联系,就有机会促进学生达到网状理解层级．

案例3一次函数图象平移的再认识(苏科版八年级上)

在一次函数图象的学习过程中,教师通常会让学生以背诵口诀“上加下减、左加右减”的方式记住:y=kx+b(k、b为常数,k≠0)及y=k(x+n)(k、n为常数,k≠0)图象平移的基本规律,但学生在理解上下和左右平移规律的过程中,认知上存在冲突,“上加下减”与“左加右减”表现出“双重标准”．

如何解决这个冲突呢?为此,笔者基于“数学理解层级”设计了以下3个主问题:

问题1:请说说y=2x和y=2(x-1)的关系．

追问:能否写几个类似的一次函数,说出它们是由y=2x如何平移得到的?能否用一个式子把它们归纳出来?(归纳为y=2(x+n))能否用文字语言来描述一下左右平移的规律?(左加右减)

问题2:请说说y=2x和y+2=2x的关系．

追问:能否写几个类似的一次函数,说出它由y=2x如何平移得到的?能否用一个式子把它归纳出来?(归纳为y+m=2x)能否用文字语言来描述一下上下平移的规律?(下加上减)

问题3:能否将一次函数图象在水平和竖直两个方向的平移规律概括为一个规律?(左加右减:表现为x轴“正”方向符合“减”;上减下加:表现为y轴“正”方向符合“减”．二者统一为“正方向减”)

为了更好地促进学生对函数图象平移的理解由散点层级上升到链式层级,教师在教学设计时就需要对一次函数图象的上下平移和左右平移之间的共性加以提炼,消除“双重标准”带来的困惑,带领学生走出死记口诀的困境,真正从本质上理解一次函数图象平移的底层逻辑．其实函数图象平移的本质就是坐标变换．函数图象的左右平移是针对横坐标x而言的,函数图象的上下平移是针对纵坐标y而言的．当函数图象左右平移时,纵坐标y保持相等,含x的项遵循左加右减的规则;当函数图象上下平移时,横坐标x保持相等,含y的项遵循下加上减的规则,本质上就是隐函数图象的平移遵循对隐函数中含x的项与含y的项采用“正方向减(坐标轴的正方向)”法则．这样,让学生理解数学对象内在的本质联系,促进学生的数学理解达到链式理解层级．

3 把握课堂拓展的延伸方向,助力学习成果的“网状”迁移

网状理解层级表现为学生能够将所学知识串成一条条链,能将这些链穿插连接起来,形成网络结构,并且能够类比迁移,拓展应用,实现更大范围、更高层次的概括抽象．我们过去觉得学手艺,手把手教就行了,但很多操作方法在传递中不断损耗,最后就失传了．真正能够维系传承发展,必须依靠迁移能力,也就是要达到网状理解层级．比如说,我在师傅那儿学会了做轮子,如果我会迁移的话,我能琢磨出一个履带,甚至从两轮车到三轮车．教师需要精心设计课堂基本环节,通过汇聚散点、形成链式、编织网状不断推进数学理解层级的提升,尤其是在进行课堂拓展教学设计时,要关注学生迁移能力的培养,拓展学生的思维空间,要有意识地关注学生现场学习核心成果的迁移,促进学生的数学理解由链式层级向网状层级迁移．因此,教学设计时要搭建横向平台,拓宽学习成果推广的路径,从而达到网状理解层级．

案例4一次函数图象平移的再认识(苏科版八年级上)课堂拓展教学设计

基于“数学理解层级”,笔者在上述案例3“一次函数图象平移的再认识”中,在“正方向减”法则的基础上,设计如下问题:(1)由y=x2的图象经过平移可以得到哪些函数的图象?请写出相应的表达式．(2)你能任意写出两个函数的表达式,使得其中一个函数的图象是由另一个函数图象经过平移得到的,并说明如何平移吗?

对于八年级的学生,虽然没有学习二次函数和反比例函数,但是学生在正确理解“正方向减”法则基础上,可以构造出符合y+m=(x+n)2类型的二次函数,其实此时学生的数学理解已经达到网状层级,能够将一次函数图象的学习成果迁移到二次函数图象甚至到任意函数图象,达到融会贯通的水平,实现更高层级的网状理解．

案例5平面直角坐标系(苏科版八年级上)课堂拓展教学设计

基于“数学理解层级”,设计如下课堂导入部分:如何大致描述点A在黑板上的位置?学生回答完“右上方(角)”后,紧接着追问“如何判断在右上方(角)”,让学生在黑板上画“一条水平线为上、下的分界线,一条垂直直线为左、右的分界线”,然后教师追问“如何更精准描述这个点A的位置?”在这样的层层追问之下,自然建构起平面直角坐标系的概念．

相应的课堂拓展的教学设计如下:教师在点A处放了一个很小的圆形磁铁,追问:如果老师将“点A”(磁铁)抓在手里移动出黑板平面,走到教室的某个位置,你能根据今天的学习经验,创造一种方式描述此时点A的位置吗?

在课堂的引入部分,师生共同完成了平面直角坐标系的建立过程,并在后续学习中掌握了平面直角坐标系相关概念和性质,但这只是链式理解层级,描述“点A”在教室的某个位置,则打破了二维平面的局限,将视角拓展到了三维空间,虽然这节课并不要求学生掌握空间直角坐标系,但这样的拓展有助于学生数学理解层级由链式理解上升到网状理解,进一步提升学生的数学素养．

4 发挥课堂小结的育人功能,促进学习感悟的“形上”升华

形上理解层级表现为学生能超越所学知识与技能,站在高观点下俯视知识与技能,从基本数学思想、数学文化等角度去理解,在过程中加深对数学的理解,感悟数学真谛,甚至能结合生活感悟人生的真谛,具有形而上的特征．要实现学生的数学理解从网状层级跨越到形上层级,不仅需要重视课堂教学基本环节中的点拨提炼,更需要充分发挥课堂小结的育人功能．课堂小结是教学中的重要环节,目前绝大多数的课堂小结仅停留在知识层面和能力层面,大部分教师通常会问“这节课我们学到了什么?这节课我们有什么收获?”部分老师还会追问“这节课渗透了哪些数学思想方法?”等等．事实上,知识学习、能力训练是课堂教学的明线,育人功能则是课堂教学的暗线．暗线在课堂教学中虽不显山露水,却无处不在,所以课堂小结需要两者兼备,而不能“弃暗投明”．基于“数学理解层级”的课堂小结教学设计需要从思想高度、文化厚度出发,充分挖掘数学学科的育人价值,促进学生感悟,实现数学理解层次的升级．

案例6图形的运动(苏科版七年级上)课堂小结教学设计

基于“数学理解层级”,课堂小结设计如下:现在再看身边的物体,你有什么不同的眼光了吗?教师启发学生用运动变换(平移、旋转、翻折)的眼光看身边的事物,让学生在纸条上写一写,老师以分享学生精彩说法,来进行本节课的小结(部分回答截图如下)．

最后,老师以一副对联结束本节课,上联是“点线面,一动万物生”,下联是“平旋翻,百变不离宗”．横批:“运动地看”．

这样的小结将学生的想法和感受沉淀了下来,将本节课内容的回顾蕴含在学生的思考过程中,教师适时点拨“一动生万物”和“百变不离宗”,将数学之思想化为学生之感悟,加深学生对知识的理解和掌握,同时使其感受成功的喜悦、感受数学之美,认为“数学真奇妙”,这实际上已经超越了图形变化本身的知识技能,体现了“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界[5]”的学科核心素养,实现了学习感悟的“形上”升华,达到了形上理解层级．

案例7一次函数图象平移的再认识(苏科版八年级上)课堂小结教学设计

基于“数学理解层级”,上述案例3的课堂小结设计如下:的一次函数图象(在横线上填一个你认为合适的词,简要说明理由).

教师首先引导学生回顾得到一次函数图象平移“正方向减”的法则的过程:“左加右减”具体操作为“+”方向符合“-”、“-”方向符合“+”;“上减下加”具体操作为“+”方向符合“-”、“-”方向符合“+”．然后让学生说一说对于一次函数图象有哪些再认识?有哪些新的感悟?课堂上学生感悟非常丰富,有学生回答:变化的一次函数图象,理由是一次函数图象可以千变万化,可以上下平移,也可以左右平移;也有学生回答:叛逆的一次函数图象,理由是“+”方向符合“-”、“-”方向符合“+”,感觉是反着来的,就像青春期的孩子不听话一样,属于叛逆;也有学生回答:此消彼长的一次函数图象或动态平衡的一次函数图象,理由是数字上的“+”,会引起图象上“-”(负方向),数字上的“-”,会引起图象上“+”(正方向),就像总量恒定,动态平衡的感觉等等．

通过“填写一个词”这样的课堂小结倒逼学生概括提炼并升华感悟,通过学生的回答发现部分学生已经能跳出图象看图象,跳出数学悟数学,甚至结合到自己的成长得出“叛逆”的结论,体会“动态平衡”,感悟数学本质和人生真谛的完美结合,似乎有点哲学的味道,这实际上已经实现了学习感悟的“形上”升华,达到了形上理解层级．

美国著名的教学设计研究专家马杰(R.Mager)指出:教学设计依次由三个基本问题组成．首先是“我去哪里”,即教学目标的制订;接着是“我如何去那里”,包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与教学媒介的选择;最后是“我怎么判断我已到达了那里”,即教学的评价．数学理解的层级是数学课堂教学评价的重要尺度,教学设计就像电视剧的脚本一样,是教师进行教学活动的依据．有效的脚本可以更好地促进学生数学理解层级的提升,反之则可能使学生的理解仅仅停留在散点理解层级,无法达到链式理解层级,更不能奢望网状理解层级和形上理解层级．数学理解层级并不是简单机械地与课堂某一环节对应,而是交织渗透到各个教学活动中．秉承“数学理解层级”的理念进行教学设计,能使教师对于预期学生达到的数学理解层级有稳定可靠的预设,有利于我们从促进学生数学理解的角度优化教学设计,帮助学生奔赴更高、更深、更广的数学理解层级．