一个代数不等式的证明

胡芳举

(湖南省桃江县第一中学 413400)

最近笔者在研究一类不等式赛题时,得到了如下一个不等式:

这个不等式的证明比较复杂,先给出下面几个引理.

证明由引理1得

引理2已知x≥y>0,且x+y=1,k∈N*,则xk-yk≥xk+1-yk+1.

证明xk-yk≥xk+1-yk+1

⟺xk-xk+1≥yk-yk+1

⟺xk(1-x)≥yk(1-y)

⟺xky≥ykx

⟺xk-1≥yk-1,

而最后一式显然成立.

由引理2易得如下:

推论2已知x≥y>0,且x+y=1,n≥k(n,k∈N*),则xk-yk≥xn-yn.

引理3若x,y>0,且x+y=1,n≥k(m,n,k∈N*),则

证明不妨设x≥y,原不等式

因为xm-1≥ym-1,所以只要证xn+yk≤yn+xk即xn-yn≤xk-yk,由推论2知该式成立,故原不等式成立.

反复运用引理3可得如下:

推论3若x,y>0,且x+y=1,m≥n≥k(m,n,k∈N*),则

引理4若x,y>0,且x+y=1,n≥k(n,k∈N*),则

证明不妨设x≥y,原不等式

≥0

≥0

≥0

⟺xnyk-1(yn+xk)(yn+yxk-1)≥ynxk-1(xn+yk)(xn+xyk-1)

⟺xny2n+k-1+xn+k-1yn+k+xn+kyn+k-1+xn+2k-1yk

≥ynx2n+k-1+yn+k-1xn+k+yn+kxn+k-1+yn+2k-1xk

⟺xny2n+k-1+xn+2k-1yk≥ynx2n+k-1+yn+2k-1xk

⟺(xny2n+k-1-ynx2n+k-1)+(xn+2k-1yk-yn+2k-1xk)≥0

⟺(xy)n(yn+k-1-xn+k-1)+(xy)k·(xn+k-1-yn+k-1)≥0

⟺(xn+k-1-yn+k-1)[(xy)k-(xy)n]≥0,

因为x≥y>0,且0

所以xn+k-1-yn+k-1≥0,(xy)k≥(xy)n,

所以上式成立,故原不等式成立.

文首不等式的证明

由推论3得

(*)

当n=k+1时,反复运用引理4可得

此时不等式成立;

当n≥k+2时,反复运用引理4可得

代入(*)式得

此时不等式成立.证毕.