数学问题解答

(江苏省泰州中学附属初级中学 陆祥雪 225300)

(安徽省寿县第一中学 梁昌金 232200)

(贵州省贵州师范大学数学科学学院 刘远桃 550025)

(山东省寿光市第五中学 杨守松 262700)

(山东省临清市北门里街颐清园小区19号楼7单元2楼西户 刘继征 252600)

(山东省邹平双语学校 姜坤崇 256200)

(山东省泰安市宁阳县第一中学 刘才华 271400)

(安徽省无为中学 朱小扣 238300)

(北京中学 史嘉 100028)

2023年5月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2721如图,已知PA、PB分别与⊙O切于点A、B,过点P的割线与⊙O交于C、D两点,M是PA的中点,连接DM交AB于点E.求证:CE∥PA.

(江苏省泰州中学附属初级中学 陆祥雪 225300)

证明取PB的中点N,连接MN交PD于F,连接OP交AB于I,连接CI、OA、OD,过O作OH⊥PD于H,设PD与AB交于点G.

因为PA2=PI·PO,PA2=PC·PD,

所以PI·PO=PC·PD,

因为△PIG∽△PHO,

所以PI·PO=PG·PH,

所以PC·PD=PG·PH,

(安徽省寿县第一中学 梁昌金 232200)

证明因为

sinA+sinB+sinC

所以

2723在△ABC中,求证:

(贵州省贵州师范大学数学科学学院 刘远桃 550025)

证明

⟺a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)

分别证明

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,

a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0

+(b-c)2(b+c-a)(c+a-b)

+(c-a)2(c+a-b)(a+b-c)]≥0,

因为a,b,c为三角形的三条边,

所以a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0,

+(b-c)2(b+c-a)(c+a-b)

+(c-a)2(c+a-b)(a+b-c)]≥0,

当且仅当a=b=c时,等号成立,

下面证明

由柯西不等式得

+ab+bc+ca

当且仅当a=b=c时,等号成立,

当且仅当a=b=c时,即△ABC为等边三角形时,等号成立.

(山东省寿光市第五中学 杨守松 262700)

所以该三角形的面积为定值.

2725如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在对角线BD上(不与点B、D重合),连结AE,作EF⊥AE交BC于点F,连结AF交BD于点G,求线段EG长的最小值．

(上海市嘉定区李园一村 谷小新 201899)

解由∠ABF=∠AEF=90°可得A、B、F、E四点共圆,所以有△ABG∽△EFG,进而可得

设BF=m>0,由勾股定理得

所以由①式可得

2023年6月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(山东省临清市北门里街颐清园小区19号楼7单元2楼西户 刘继征 252600)

2727设n∈N+且n≥3,k∈N+,求证:

nn+k>(n+k)n.

(山东省邹平双语学校 姜坤崇 256200)

(山东省泰安市宁阳县第一中学 刘才华 271400)

(安徽省无为中学 朱小扣 238300)

2730如图,已知C,D是⊙O的弦AB上的两点,满足AC=BD.过点C,D分别作⊙O的两条弦EF,GH,连接GE,FH分别交AB于点P,Q.求证:PC=QD.

(北京中学 史嘉 100028)