让乘法口决华丽登场

徐丹红　朱国荣

教学内容

人教版小学数学教材二年级下册第六单元“有余数除法”第一课时。

教学目标

1.认识余数和有余数除法，会用乘法口诀判断有无余数。

2.能找到和被除数接近的乘法口诀，为试商打下基础。

3.培养学生数感，提高运算能力。

教学重点

认识余数和有余数除法，会用乘法口诀判断有无余数。

教学难点

能灵活运用乘法口诀，快速判断有无余数。

教学过程

一、分物，认识余数和有余数除法

师：小朋友们，今天我们要一起来上一节数学课，老师给大家准备了一些糖果做奖励。但在准备的时候，发现家里一共有3包糖。看，它们分别有几颗呀？（课件逐一呈现）

生：13颗，15颗，20颗。

师：如果老师想3颗3颗地分，想一想这3包糖都能正好分完吗？哪包糖可以正好分完，哪包糖又不能呢？

生：13颗糖和15颗糖能正好分完，20颗糖是不能分完的。

生：我认为15颗糖能正好分完，13颗糖和20颗糖是不能分完的。

师：看来每个人都已经有自己的想法了，那有什么办法能知道我们的想法是否正确呢？

生：可以分分看。

师：这是个好办法，老师为每个小朋友准备了一张学习单，上面用相同数量的小圆圈来代替了糖果，你们可以圈一圈、分一分，验证一下你们的想法。

（反馈学生作品，如图1）

师：仔细观察，你们和他分得一樣吗？

（学生齐点头）

师：现在你们能确定哪包糖能分完，哪包糖不能分完了吗？

生：13颗糖还剩1颗，没有分完；15颗糖正好分完；20颗糖还剩2颗，也没有分完。

师：他的意思是13颗糖分给了……，还剩……

生：4个小朋友，1颗。

师：15颗糖呢？

生：正好分给了5个小朋友。

师：20颗糖又分给了几个小朋友？还剩几颗呢？

生：分给了6个小朋友，还剩2颗。

师（小结）：刚才我们在圈一圈、分一分的过程中，知道了这几包糖能不能正好分完，也知道了它们分别可以分给几个人，剩余几颗。非常好！

师：那如果想用一个算式来表示15颗糖正好分完的情况，该用哪个算式表示呢？

生：15÷3＝5（人）。

师：其实就是求15里面有……

生：几个3。

师：所以用除法。那13颗糖，有剩余的情况也想用一个算式来表示，又该怎么表示呢？

生：13除以3等于4，然后写上省略号和1颗。

师：13÷3＝4，然后怎么写？

生：省略号。

生：六个小点点。

师（板书省略号）：语文中的省略号怎么用在数学中了呢？你们知道它表示什么吗？

生：表示剩余的糖果。

师：是的，表示有剩余，所以在数学中我们把它叫作余号。那后面写什么？

生：多出来的1颗。

师：那前面4的单位是？

生：人。

师：小朋友们，这个“1”就是我们今天要认识的新朋友，它叫作余数。而这个算式读作：十三除以三等于四人余一颗。你们会读吗？会写吗？

（教师请学生自己写一写20÷3的算式，写完后同桌相互读一读、检查一下）

师：像这样的算式就是今天我们要学习的有余数的除法。

【评析】本课的任务之一就是认识有余数的除法。在前测中我们发现，学生已经有丰富的“有余”经验，只是对于这个剩余在数学中的称谓还不熟悉，对于有余数除法的算式表征还不大会，也就是对于“有余”有经验而少表征。因此，教师以分糖情境引出分物时产生的两种情况并随之介绍表征方式，材料结构化，目标明确清晰。

二、游戏，判断有无余数

1.卡片游戏

师：你们认识余数和有余数除法吗？接下来老师可要考考你们。这里有几张卡片，每张卡片后面都藏了一个数，待会儿我会把这些卡片一一翻出来，请你们判断一下它们除以4会有余数吗？（如图2）如果有就用手势打钩，如果没有就用手势打叉，准备好了吗？

（教师翻出前两张卡片请学生判断，并查看判断情况：12÷4、18÷4）

师：刚刚两张卡片，我们的判断基本一致，都认为12÷4没有余数，18÷4有余数。没有分也没有圈，你们是用什么方法判断的呢？

生：只要用翻出来的数除以4，除不了就有余数，除得了就没有余数。

师：那“除得了”“除不了”是什么意思呀？

生：就是可以倒过来想乘法，乘出来正好等于卡片上的数就是除得了，不等于就是除不了。

生：可以直接背乘法口诀。

师：12÷4的时候你们背的是哪句乘法口诀？

生：三四十二。

师：三四十二说明什么？

生：说明12÷4正好等于3。

师：是的，咱们在学表内除法的时候就是用乘法口诀来想的。那18÷4呢？

生：因为没有乘法口诀，所以是有余数的。

师：没有乘法口诀是什么意思？

生：就是没有几乘4正好等于18的。

师（呈现4的乘法口诀）：果然没有几乘4等于18的乘法口诀，说明18÷4有没有一个正好的结果？

生：没有。

师：所以就产生了……

生：余数。

师：非常棒！你们不仅会判断，还会找方法。继续翻卡片，24÷4。

生：没有余数。

师：想到的乘法口诀是……

生：四六二十四。

师：所以24÷4＝6，没有余数。最后一张，35÷4。

生：有余数。

师（追问）：理由呢？

生：因为35÷4没有乘法口诀。

生：四九三十六，35比36少1，所以没有35的乘法口诀。

师（小结）：看来，在判断有没有余数的时候有个很管用的窍门，就是乘法口诀。

2.朵朵花开

师：那接下来就请你们用乘法口诀来判断。这里有一朵花，花瓣上待会儿会出现一些数，请用乘法口诀判断花瓣上的数除以6会不会有余数。请你们默默地用小脑袋想一想！

（如图3，课件逐一呈现数）

师：哪几片花瓣是没有余数的？

生：30和42。

生：我也同意。

师：分别是用哪句乘法口诀进行判断的呢？

生：五六三十、六七四十二。

师：那另外3片花瓣有没有正好对应的乘法口诀？

生：没有。

师：怎么知道15÷6是没有对应的乘法口诀呢？

生：一六得六、二六十二……一句、一句背一下就知道了。

生：二六十二，已经12了，三六十八，超过15了，所以没有。

师：第一个同学每一句都背了一下，第二个同学只背了两句，谁听懂了他的意思？

生：二六十二是小于15的，三六十八是大于15的。

师：为什么想这两句就可以了？

生：这两句乘法口訣是连着的，中间没有等于15的。

生：15在12和18中间，中间没有其他乘法口诀了。

生：这两句乘法口诀是最接近15的，它们都没有15，所以6的乘法口诀中不可能有15。

师：你的意思是找的两句乘法口诀是……

生：最接近15的。

师：发现15在两句乘法口诀中间，就能马上判断没有正好的乘法口诀。所以，有没有必要9句乘法口诀全部背一遍？只要背几句乘法口诀？

生：没有必要，只要背最接近的两句乘法口诀。

师：那26÷6谁能找到和它最接近的两句乘法口诀？

生：四六二十四和五六三十。

师：一句大，一句小，正好能判断。52÷6呢？

生：六九五十四，六八四十八。

师：想一想，他说的对吗？

生：对的，54>52，48<52，都和52很接近。

师：你们很厉害，不仅会判断，而且还会思考。

3.转盘游戏

师：想不想接受挑战？老师这里有个转盘（如图4），转盘会转动，停的时候指针指着哪个数，就用哪个数除以9。有没有余数？乘法口诀又是什么？比一比，看谁判断得快！

（教师转动转盘：36）

生：四九三十六，所以没有余数。

师：非常好，一句乘法口诀就能知道。

（教师转动转盘：19）

生：二九十八和三九二十七，18小于19，27大于19，所以有余数。

生：二九十八，和19只差1，不可能再有一个9，所以有余数。

师：有一个同学是通过两句接近的乘法口诀进行判断，另一个同学是看相差数进行判断，这两个同学思考得都很有道理。那接下来我们让转盘转动得快一点怎么样？

（教师转动转盘：53）

生：有余数，因为六九五十四、五九四十五。

（教师转动转盘：76）

生：有余数，因为八九七十二和九九八十一。

师：和你们想的一样吗？

生：我补充，76很大，想接近的乘法口诀时可以从“九九八十一”开始想，不要从“一九得九”开始想，太慢了！

师：哦！是的，想乘法口诀时能一下子想到当然最好，如果不能，还可以根据数的大小来思考是从大还是从小开始背乘法口诀。

【评析】用乘法口诀计算有余数除法对于很多学生来说并不是想象中的顺理成章，是有难度的。因此，在认识余数之后，教师并没有急于去圈、画或计算出余数的结果，而是设置了“判断有无余数”的教学环节。这既是对余数的进一步强化，更是在判断有无余数的过程中让学生发现乘法口诀的妙用。借助层层递进的三个游戏让学生经历思维过程：可以利用乘法口诀判断有无余数—要寻找最接近的两句乘法口诀—可以根据被除数的大小选择从哪里开始背乘法口诀等。不仅给乘法口诀一个切入的机会，也教会学生寻找乘法口诀的“小策略”，更加为后面的试商打下基础。

三、再次分糖，借余想除

师：你们这么棒，老师迫不及待地要奖励大家糖果了，猜猜看，今天老师到底把哪包糖带来了？

生：第三包，因为第三包最多。

生：会不会三包都带来了呀？

生：第二包，因为第二包正好分完。

师：有人猜中了，我真的把三包糖都拿来了。三包糖一共有多少颗？

生：48颗。

师：48颗糖分给我们44个小朋友，每人……，还余……

生：1颗，4颗。

师：那这4颗怎么办？

生：留给徐老师。

师：感谢你们，但老师想把这4颗糖再分一分，所以我决定再增加难度，谁能解决就奖励给谁，好吗？

（学生点头同意）

师：请问48还能除以哪个一位数，也是有余数的？

生：除以9。

师：可以得到奖励吗？

生：可以的，因为48÷9有余数。

生：除以5。

师：你们来帮老师判断一下。

生：对的，可以奖励。

生：还可以除以7。

师：除以7有余数吗？

生：有的。

生：除以4。

生（反驳）：48÷4＝12。

师：所以是没有余数的，不符合要求。

生：48÷3。

师：你们听懂他的意思了吗？太厉害了，将这3个算式合起来思考问题，老师忍不住要把最后一颗糖奖励给你。是的，48÷3是没有余数的。那48除以5、除以7、除以9到底等于几余几，下一节课我们继续研究。

【评析】教学中，教师设计了“猜一猜老师带了哪包糖来分”的教学情境，学生在猜测的过程中不仅会关注有没有余数，也会关注余数的大小。进而思考48还能除以几也是没有余数的，既强化所学知识，又引导学生有序全面思考。学生在判断能否得到奖励的过程中进一步思考：48÷3、48÷4有余数吗？不是表内除法如何判断？48÷5、48÷7、48÷9有余数，商和余数到底是多少呢？虽有挑战，但学生在徐老师的课堂中乐此不疲。同时，也折射出教师对于剩余4颗糖的精心设计。

【总评】

在本课中，教师打破了以“认识有余数的除法”和“认识余数和除数的关系”作为单元教学起始课的惯例，基于学生实际以及除法教学的全过程做了如下三点转变。

一、从“认识余数”到“判断有无余数”，凸显学习重点

在教学中，我们常常会把认识“有余数除法、认识余数和除数的关系”作为单元教学的重点，并会借助大量的分物情境让学生去感知和体验。但在对二年级学生进行相关前测时发现：他们拥有大量的生活分物经验和感知，大部分学生能在分物过程中正确填写出分了几人，剩余多少，且几乎不会出现剩余的数量超过除数的情况。可见，学生在熟悉的情境中是比较容易得出商几余几、理解余数和除数之间的关系的。那么在后续的计算中为什么还会出现余数大于除数的错误呢？因为从有余数除法、余数、除法竖式的认识到试商，跳跃性太强，学生缺少了从具体情境到单纯计算的过渡，缺少了从操作中得出余数到直接算出余数的过渡。

因此，在教学中，教师借助分糖情境认识了余数和有余数的除法之后，让学生在算式中判断有没有余数，为后面计算出余数做好过渡和铺垫。从单元视角出发，基于学情，重新定位了第一课时的学习重点。

二、从“圈出余数”到“口诀判断”，拉长难点体验

为什么除法竖式不能和加减一样直接写出商几余几？为什么不用原来的除号？为什么商和除数要再乘一次？……除法竖式的特别使得很多教师觉得难教、学生觉得难学。因此，课堂上教师会结合小棒图细致地解释每一个数的含义，且反复讲解，学生当下“会写了”，可到三年级学习“除数是一位數的除法”时又打回原形了。这是为什么呢？因为从意义到除法竖式的教学，每一次商和余数的得出，教材编排均是依靠圈、画得出的，而竖式只是记录圈、画得出的结果，学生自然也就体会不到除法竖式这样列的原因和价值。

因此，我们看到课堂上教师缩短了圈、画的过程，而提前让乘法口诀在判断有无余数过程中华丽登场，为后面除法竖式和试商的学习做足“理”上的铺垫，将本单元的学习难点分解在各课时教学中，拉长了难点的学习和体验过程。

三、从“操作体验”到“游戏闯关”，指导策略形成

除了除法竖式这一显性的难点外，本单元还有一个隐性的难点，那就是试商。试商似乎只有两句话：“算29÷4就是想4×（ ）＜29”和“想（ ）最大能填几”，而学生在实际学习求商的过程中却不是那么容易的。有余数除法在计算时是没有正好对应的乘法口诀的，那哪一句乘法口诀是合适的呢？又是怎么找到这一句乘法口诀的呢？很多学生需要花时间去思考，甚至需要乘法口诀表中一句一句背过去才能慢慢找到。如果背得不熟练，找到乘法口诀的过程会更长，所以我们需要指导学生去形成找乘法口诀的策略。

在课堂上没有大量的实践操作，而是教师借助“卡片游戏”“朵朵花开”“转盘游戏”环节激励学生去发现、去感悟，在不断加快判断速度的过程中去思考判断的方法。从“可以用乘法口诀判断”到“只背乘积最接近被除数的两句乘法口诀”，再到“可以根据数据的特点选择从小到大背还是从大到小背乘法口诀”，学生的思维能力在不断提升。