小学数学结构化：内在机理、教育价值及实践指要

林俊

结构化虽然不是一个新名词，但是随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的颁布，引起了大家的高度关注，这确是前所未有的。那么，什么是结构化？为什么要对内容结构化整合？小学数学教学中如何进行内容结构化整合？本文将围绕这些问题展开。

一、小学数学结构化的内在机理

（一）结构化的内涵特征

结构，是指事物自身各种要素之间的相互关联和相互作用的方式，包括构成事物要素的数量比例、排列次序、结合方式和因发展而引起的变化，这是事物的结构。结构是系统的属性，是元素及关系的整体关联，是具有能动性功能的完整体系。结构化即系统化，是结构的建构过程，可以理解为作用于主体并促进对事物的元素及关系的整体关联而形成自主认知建构的过程。

小学数学结构化即教师用系统论的方法，对教材相关内容进行结构化加工、重组、创生，通过确定结构化目标、安排结构化内容、提供结构化素材、组织结构化活动、实施结构化评价等途径，形成整体关联的理解设计，实施结构化教学，使学生实现心智转换，从而把教材具有内在逻辑的知识结构转化为学生可以表征、理解、内化、运用的认知结构。小学数学结构化具有以下三个特征。

1.结构化的自主性。皮亚杰认为，人的认知和学习不是单纯地“复写”外部的事实，也不是简单地留下“痕迹”。学生的学习过程并不是对外界信息被动复制，而是在有选择的感知后，大脑对相关信息进行重组和转换，以做出适合学生原有认知结构的深度加工。也就是说，每个人认知结构的建立既具有自主性，又具有自洽性。因而，学生认知结构的形成不是依靠教师的灌输、说教所能奏效的，必须要在教师设计的结构化教学活动中，通过自主探索、小组合作、师生互动，逐步建构、内化而成的。

2.结构化的阶段性。根据皮亚杰认知发展阶段理论，不同发展阶段的学生具有不同的认知形式和认知模式。一方面，结构化的程度呈现阶段性。学生在不同学段结构化程度是不相同的，一般会按照动作表征、图像表征、符号表征的进阶顺序发展。另一方面，结构化的范围呈现阶段性。比如，学生对于数位顺序表的建构，就是随着学生认数范围扩大和数域扩展而不断完善的。从认识20以内的数、100以内的数到万以内的数，再到万以上的数，逐步形成整数的数位顺序表；学习小数后，又把小数的数位顺序表与整数的数位顺序表链接，形成完整的数位顺序表。

3.结构化的差异性。学生一方面按照自己的认知模式来把握外界事物，另一方面通过认知活动，也会使自己的认知模式得到重新改造。学生习惯于从他们原有的认知结构出发去组织、接纳、理解知识。这样，不同学生会形成不同的知识结构，即各个概念和规则之间的联系呈现不同的状况。知识结构的不同必然会导致学生思考的角度、表征方式、理解程度、作业水平不同。在课堂教学中，教师要及时捕捉、了解不同水平学生的知识组织状况，利用生成的差异性资源，助力学生的认知建构过程，促进不同层次学生的发展。

（二）结构化蕴含的心理机制

教育心理学家十分强调要把新知识学习与原有知识和经验对接，建立新旧知识之间的联系，形成新的认知结构。布鲁纳认为：“掌握事物的结构，就是以使许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它。简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”奧苏伯尔说：“影响学习的最重要的因素是学生已有的内容。弄清了这一点后，才能进行相应的教学。”可见，学习就是建立知识之间的联系，掌握事物的结构。那么，其中蕴含的心理机制是什么呢？

认知心理学指出，学习意味着对混沌凌乱的刺激进行知觉重组。经过知觉重组，本来无意义的模糊刺激之间便有了一定的联系，使本来难以学习、难以记忆的刺激变得容易掌握。这种有意义联系的刺激就是结构。认知结构指的就是具有一定形式的意义联系的认知组织，既包括对结构中元素之间关系的认识，也包括对结构中元素意义的理解。

将内容结构化不仅利于学习，而且便于提取。因为人的短时储存广度有限，但将长时记忆的信息和新接收的信息结合起来加工，就会使编码有比较合理的结构，短时储存的信息单位会扩大，短时储存的信息量因此会增加，工作记忆的速度和准确程度也会提高。凯斯认为，工作记忆中操作空间效率的提高是导致认知发展的重要原因。研究表明，学生形成良好的认知结构，可以释放操作空间，减轻大脑认知负荷，提高脑力劳动效率，促进智力发展。

二、小学数学结构化的教育价值

（一）小学数学结构化是发展核心素养的需要

“新课标”把“设计体现结构化特征的课程内容”作为重要的课程理念，指出关于“课程内容组织”重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。在“教学建议”中也要求“注重教学内容结构化”“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”。结构化整合，就是为了改变学科内容孤立散装、学科内容割裂等不利于学生核心素养形成的方式。小学数学内容结构化整合，有利于学生从整体的、关联的、系统的高度，把握数学概念、公式、法则、规律及原理之间的内在联系，建立起有关联、有意义的认知结构，发展数学核心素养。

（二）小学数学结构化是促进学习迁移的需要

面对“人生有涯而知无涯”的现实矛盾，布鲁纳提出这样的问题：“学生对所学材料的接受，必然是有限的。怎样能使这种接受在他们以后一生的思想中有价值？”他认为，理解学科的基本结构最有价值，因为掌握结构有利于迁移！“不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。这是知识运用的最低要求，这样才有助于学生解决在课堂外遇到的问题和事件，或者日后课堂训练中所遇到的问题。经典的迁移问题的中心，与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构。”

把教材中具有较高概括性、统摄性和具有广泛解释效应的基本概念、基本原理、基本思想和基本观念，放在教材的中心是促进迁移的必由之路。布鲁纳认为：“领会基本的原理和观念，看来是通向适当‘训练迁移的大道。”这和心理学家的观点一致，已有知识经验概括水平越高，就越能揭示没有认识过的某些同类新事物的实质，并把新事物纳入已有的知识经验系统中去，因而也越能顺利迁移。

（三）小学数学结构化是照顾学生差异的需要

学生之间是存在差异的，促进每个学生的发展是我们的教育目标。“人人受到良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”这是新世纪数学课程改革始终坚持不变的课程理念。数学内容结构化，特别有利于学生的数学学习。布鲁纳认为：“不仅要教育成绩优良的学生，而且也要帮助每个学生获得最好的智力发展。强调学科结构的良好教学，对智力一般的学生来说，可能更为宝贵，因为最容易被质量差的教学抛弃的，正是前者而不是后者。”

心理学研究表明，学生有不同的认知风格，不同认知风格的学生对教材内容的呈现方式和教师提供的教学支架需求是不同的。比如，场独立性学生（喜欢独立思考）和场依存性学生（喜欢合作交流）对教学方法有不同的偏好。场独立性学生易于给无结构的材料提供结构，他们对教师的教学方法要求不高。场依存性学生则完全相反，他们喜欢有严密结构的教学，需要教师提供外来结构和明确的指导与讲解。他们对教师的依赖性较大，教师提供的内容结构、任务支架、活动提示等直接影响他们的学习效率。可见，对于比较复杂的问题，教师可以提供结构化的问题导引；对于挑战性的任务，教师可以提供结构化的操作材料，从而为场依存性学生思考助力。

三、小学数学结构化的实践指要

（一）吃透“新课标”精神，把握主题的整体性

“新课标”已经对数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域的课程内容主题进行了顶层设计、系统整合（如表1）。其改变了知识技能孤立、零散的呈现方式，强调教学的系统性、逻辑性、整体性，沟通了知识间的内在联系，凸显出学科的本质内涵，使内在的知识逻辑和内隐的思想方法更加清晰。

课程内容的结构化通过主题整合的方式呈现，体现了学习内容的整体性。如“数与代数”领域，小学三个学段的主题由原来的“数的认识”“数的运算”“常见的量”“探索规律”“式与方程”“正比例、反比例”六个整合为“数与运算”和“数量关系”两个。这样整合之后，不仅小学三个学段的主题表述完全一致，而且与第四学段的三个主题（数与式、方程与不等式、函数）本质保持不变。因为随着数域的扩大，“数与式”研究的对象是有理数与代数式及其运算，本质上还是“数与运算”；“方程与不等式、函数”本质上还是研究“数量关系”，方程研究的是已知数与未知数之间的相等关系，不等式研究的是已知数与未知数之间的不等关系；而函数研究的是变量之间的数量关系。

（二）领悟数学本质，把握内涵的一致性

众所周知，学生的认知结构是从教材的知识结构转化而来的。虽然按照“新课标”编写的新教材还没有面世，但是我们完全可以发挥自己的主观能动性和创造性，按照“新课标”理念，对现行教材进行深度分析。通过内容结构化整合，领悟数学内容所蕴含的数学本质，把握不同学习内容内涵的一致性。

比如，整數加减法计算，要求“末位对齐”；小数加减法计算，要求“小数点对齐”；同分母分数加减法计算，要求“分母不变，只要把分子相加减”；异分母分数加减法计算，要求“先通分，再按照同分母分数加减法计算”。这样看来，整数、小数、分数加减法的计算方法各不相同，如果孤立地教学这些内容，容易加重学生的记忆负担和理解负担，造成学生学习的浅表化、碎片化。如果透过表面现象，看到“末位对齐”“小数点对齐”，其实就是保证相同数位对齐，从而使相同计数单位上的数相加减。“分母不变，只要把分子相加减”实质也是相同计数单位上的数相加减，异分母分数加减法计算要求先通分是为了保证分母相同，也就是计数单位相同。可见，整数、小数、分数加减法的计算方法本质上具有一致性，都是把相同计数单位上的数相加减。

（三）梳理纵横联系，把握知识的关联性

严密的逻辑性是数学的显著特征。这种严密的逻辑性既能给学生学习带来方便，也能给学生学习带来麻烦。教学中教师要充分发挥其优势，在打好后续学习必备的知识技能基础的同时，把握知识之间的联系，建立知识网络，形成认知结构，使学生学得越来越轻松、越来越通透。特别是学习到一定阶段，很有必要把相关的知识内容进行梳理、贯通。华罗庚先生说过，读书先要“由薄到厚”，还要“由厚到薄”。梳理、沟通的过程就是“由厚到薄”的转换过程，从而让点状的知识连成线、结成网，变得组块化、集群化。这样构建的结构化知识网络不仅减轻学生记忆负担，利于学生理解知识，而且便于信息提取与运用。

比如，加、减、乘、除法，在学生看来，它们是四种不同的运算，意义也不相同，对它们关系的认知停留在“减法是加法的逆运算”“除法是乘法的逆运算”“乘法是求相同加数和的简便运算”的层面。这样建构的知识网络是有残缺的，因为还没有建立减法与除法的联系。事实上，除法也可以看作是递减相同减数的简便运算。

再如，多边形面积计算，教材一般是按照长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的顺序教学的，后面学习的图形都是转化成前面已经学过的图形推导出来的，得到的面积公式各不相同。如何让学生感悟到其中的内在关联呢？可以在梯形面积公式学习之后，利用几何画板的动态演示，使学生清楚地看出：梯形的上底等于0（缩为一点）时，就变成三角形；梯形的上底等于下底时，就变成平行四边形；把平行四边形的一个角拉成直角，就变成长方形；把长方形的一条长边缩成与短边相等，就变成正方形。在变化中，学生能够感悟到梯形面积公式可以作为这几个图形面积的通用公式，打通了知识之间的壁垒，领悟到数学的统一美。