范希尔理论在生活数学图形教学中的应用

浦陈霞

【摘 要】 根据范希尔理论，培智学校学生的几何思维水平主要处于水平0—水平2阶段。因此在开展生活数学图形教学时，教师可结合教材和学生实际，分段分层螺旋上升式安排教学内容，从“基于直观，建立图形表象”到“组织操作，理解图形特征”，再到“比较异同，体会图形关系”，使学生一步一步丰富活动体验、增强图形认知，逐步提高几何思维水平。

【关键词】 范希尔理论；几何思维水平；图形教学

【中图分类号】 G764

范希尔理论是荷兰数学教育家范希尔夫妇基于皮亚杰认知理论，结合长期一线几何教学实践研究而得出的关于学生几何思维水平的理论，对于培智学校学生认识图形的教学具有指导意义。范希尔夫妇指出学生几何思维的发展存在5个水平阶段——视觉、分析、非形式化演绎、形式的演绎、严密性，培智学校学生主要处在前3个水平阶段。生活数学教师可基于范希尔理论，结合教材和学生的实际有序组织“认识图形”教学，引领学生分段层级式提升，促进他们几何思维水平提高。

一、水平0：视觉——基于直观，建立图形表象

水平0阶段是视觉阶段，这阶段的学生能根据具体实物，通过整体观察和感知识别图形，能模仿画出图形，初步描述图形，但无法利用图形的特征分析图形。因此，视觉阶段的教学定位是帮助学生基于直观，通过观察、比较、概括等形式建立图形表象，习得图形名称，进而能在比较的基础上对相关物体外形或图形进行识别和辨认。

（一）观察物体，抽取图形

数学来源于生活，学生生活中的真实物体是适合他们视觉阶段认知水平的学习素材。教师在教学时可以引导学生从观察常见的物体面开始，聚焦“形”描画轮廓，抽取出几何图形，完成生活实物外形到图形的感性抽象。如教学“认识长方形”时，教师出示学生熟悉的安全出口标识、橡皮、直尺、数学书等含有长方形的物品，引导学生观察从这些物体面上逐个抽取出长方形的过程，帮助学生积累丰富的感性经验，建立清晰的由体到面的印象。接着教师引导学生用手沿着长方形轮廓有序比划、实际动笔描一描等充分描摹图形，聚焦图形的本质特点，直观感受长方形是由4条直直的边围成的图形，将观察到的感性认知上升为对长方形的理性认识，建立初步的长方形图形印象。

（二）概括提炼，建立表象

图形表象是众多同类图形形状的概括，从多个图形中提炼共性，概括成一类，这也是数学一般化的过程。如教学“认识长方形”时，教师让学生观察颜色、大小、方向各不相同的长方形有什么共同特点，并让学生通过观察用自己的日常用语描述——都是长长方方的。教师就顺势介绍：像这样长长方方的图形都是长方形。之后，教师出示一个正放着的标准长方形，指出这个图形表示长方形，并命名为“长方形”，这样学生就完成了视觉阶段形态各异长方形一般化的概括过程，建立了典型的长方形图形表象。然后教师让学生通过看、闭眼想、再看这样多循环的方式记住图形表象。

（三）变式辨析，强化表象

为了让学生对图形有完整的认识，教师在进行图形教学时可以变换颜色、大小和方位，通过变式图形与原来标准图形的观察、比较、辨析，让学生体会图形的本质属性——图形的形状与颜色、大小、方位无关，从而正确建立图形的表象。

教师可以播放长方形逐渐扩大、逐渐缩小的动画给学生看，告诉学生这些始终是长方形，让学生头脑里留下生动的情境画面，利于学生建构长方形的概念，发展初步的空间观念。教师还可以让学生旋转手中的长方形，边看边说边记住长方形不同位置时的样子，让学生对正放、倒放、斜放的长方形都有较为深刻的印象。建立图形表象后，教师安排学生根据表象到身边物品上再找长方形，充分将头脑里的图形表象具体化，通过多次找长方形，有错误及时纠正，使学生不断感知图形，进一步加强头脑中的图形表象。

二、水平1：分析——组织操作，理解图形特征

水平1阶段是分析阶段，这阶段的学生能简单分析图形的组成要素、描述图形的相关特征，或者利用这些特征解决简单的问题，但无法解释这些特征之间的关系。这阶段的教学可以通过看一看、摆一摆、数一数、比一比等操作活动，帮助学生从边和角的视角初步理解图形的特征，嘗试用自己的语言进行描述，并试着利用图形特征来辨认图形。

（一）有序操作，分类感知

为了便于学生了解长方形的特征，教师可以分别开展“边”和“角”两类活动引导学生对图形的组成要素进行操作探究。

1.搭一搭、数一数。教师首先给学生提供两长、两短的4根小棒，让学生根据头脑中建立的图形表象尝试搭一搭长方形。搭完确认是长方形后，教师就指着小棒介绍：直直的小棒就是长方形的一条边。然后教师引导学生有序数一数边的数量。通过齐数、个别数，学生得出：长方形有4条边。教师同样结合长方形介绍角的概念，使学生通过指、数，得出：长方形有4个角。

2.描一描、画一画。教师通过让学生照着长方形（见图1）边描画边数边说，加深长方形有4条直直的边、4个方方的角的印象。学生通过亲身经历搭、数、描画，对长方形边、角的数量和特征有了较为清晰的了解。

（二）辨析操作，归纳特征

教师延续用小棒搭长方形的环节，引导学生辨析后继续操作，层层深入，逐步了解掌握长方形边的特征。

1.移一移。教师出示之前学生用小棒搭长方形的错例（如图2），让学生思考后移一移搭出正确的长方形。比较移动前后的两个图形，学生发现：要正确搭出长方形，颜色相同的两根小棒要面对面放。

2.比一比。教师顺势让学生比一比颜色相同的两根小棒的长度，发现：颜色相同的小棒同样长。对应长方形得出：长方形上下两条边一样长，左右两条边一样长。

3.搭一搭。教师给学生提供两长两短的颜色均相同的4根小棒，让学生尝试搭长方形。学生初步应用长方形对边相等的特征，尝试找出同样长的两根小棒面对面放，搭出长方形。

教师通过层层递进的操作，使学生关注长方形边长，进一步观察构成图形的边长与图形之间的关系，寻找并体会长方形的本质特征：4条边分成两组，两条长边为一组且同样长，两条短边为一组且同样长。

（三）尝试应用，内化理解

学习长方形特征后，设计分层练习，帮助学生进一步理解、巩固图形特征，深化认知。图3让学生通过比较感受长方形是直线图形。图4通过圈一圈、比一比，深化长方形是四边形的认知。图5都是四边形，通过比较再次明确长方形对边相等，而且4个角都是方方的角。

三、水平2：非形式化演绎——比较异同，体会图形关系

水平2阶段是非形式化演绎阶段暨抽象与关联阶段，这阶段的学生可以根据相关性质建立图形内部、图形与图形之间的联系，能通过非形式化推理将图形分类，但还没有形成条理清晰的概念系统。这对于培智学校学生来说有一定难度，教学中教师可以通过抽象与关联，适当让学生理解图形之间的关系。

（一）聚焦区别，感受联系

培智学校学生将先后认识各种几何图形，而这些图形在图形表象和特征上有相似又有区别，他们不容易区分。因此，当学生新认识一种图形后，教师应着重将其与之前认识过的类似图形进行比较，使学生充分感受图形之间的联系与区别，抓住特征清晰建立图形的认知。教师也可以借助直观形象的韦恩图（见图6）展示图形之间的关系，促使学生建构系统的平面图形认知结构。如学生认识了长方形后，教师出示多个四边形，通过比较异同，让学生感受长方形是四边形家族中的一个；学生认识正方形之后，教师让学生体会正方形是特殊的长方形。等学生认识了相关的四边形之后，教师可以带领学生在观察、比较中体会各个不同四边形之间的包含关系。

（二）引申推理，形成结构

教师还可以设计动画形式让学生观察、引申想象并验证，如将四边形的两组对边拉成平行，四边形就变成了平行四边形；将平行四边形的一个角变成直角，平行四边形就变成了长方形；长方形的长缩短到与宽同样长，长方形就变成了正方形……虽然培智学校学生不善于表达，甚至理解得有可能不够到位，但呈现图形之间互相变化的动画，利于学生感受图形与图形之间的关系，便于他们整体了解平面图形，逐渐形成完整的相关平面图形的认知结构。

以上所举长方形的教学，教师可以设计2—3课时来完成。教学中我们也发现培智学校三年级学生认识长方形大都处于范希尔理论的水平0和水平1层次，只有極少学生处于水平2层次，根据范希尔理论几何思维水平不连续的特点，教学时需要分层教学，同时小步子、多循环地通过数形结合的动手操作、观察比较等实践活动，不断加强学生的感知、体验，培养学生空间观念，从而逐步提升他们的几何思维水平。

（作者单位：江苏省无锡市锡山特殊教育学校，214000）