函数与导数综合运用试题精选

■江西省永丰中学 曾 伟

1.已知函数f(x)=alnx+x2,g(x)=2x3-ax+2,a∈R。

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若∃x1∈(0,+∞),∃x2∈[-2,-1],使得2f(x1)≤f(x2),求实数a的取值范围。

2.已知函数f(x)=ex-ksinx在区间内存在极值点α。

(1)求实数k的取值范围;

(2)求证:在区间(0,π)内存在唯一的β,使得f(β)=1,并比较β与 2α的大小。

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)设函数g(x)=(3-a)x-f(x)有两个极值点x1,x2(x1

5.已知函数

(1)试判断函数f(x)的零点个数;

6.设a≥0,函数f(x)=(x+1)lnx+(a-2)x+2。

(1)求证:f(x)存在唯一零点x0;

(2)在(1)的结论下,若x1+a=sinx1,求证:x1-lnx0≤0。

(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,0)处的切线方程;

(2)当0

8.已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的极值;

参考答案:

又因为g(0)=0>g(α),g(π)=eπ-1>0,所以g(x)在(0,α)内无零点,在(α,π)内存在一个零点,故存在唯一的β∈(0,π),使得g(β)=0,即f(β)=1。

由(1)知eα=kcosα>1,所以g(2α)=e2α-ksin 2α-1=e2α-2eαsinα-1=eα(eα-2sinα)-1。

若a>0,当xx1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x20,f(x)单调递增。

综上可得,当a=0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞);

令f′(x)=0,得x=1或x=a。

若00,f(x)单调递增;当x∈(a,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减。

若a=1,则f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增。

若a>1,当x∈(0,1)与(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减。

综上可得,当01时,f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增,在(1,a)上单调递减。

所以当a∈(1,a0)时,m′(a)>0,m(a)单调递增;当a∈(a0,4)时,m′(a)<0,m(a)单调递减。

下面确定函数f(x)在(0,+∞)上的零点个数。

当x∈(0,x0)时,g(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0。所以函数f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增。因为f(0)=0,所以f(x0)0,所以函数f(x)在(x0,π)上有且只有一个零点,故函数f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点。由奇函数的性质可知,函数f(x)在(-∞,0)上有且只有一个零点,所以函数f(x)有三个零点。

若a≤0,则f′(x)>0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)没有极值。

若a>0,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增。所以f(x)有极小值,极小值为f(a)=lna+b+1,无极大值。