导数试题中的易错易误点归类剖析

■贵州省遵义市第四中学 刘德文

长期以来,高中数学中导数板块的内容都是同学们学习的痛点。虽说运用导数解决问题是一种十分优美的方式,但是不少同学在实际解题过程中会出现因为对导数的工具性认识不足,理解不够透彻,掉进命题人设置的各种各样的陷阱里面,进而造成在考试中出现失分的现象。针对上述情况,本文从以下八个容易出现错误的题型入手,分析常见错解情况,再剖析同学们出错的原因,最后给出正确解答,从而帮助大家一起厘清概念,精准理解,高效解题。

易错点一、对导数定义理解不清

易错点二、忽略函数的定义域

错因分析:求函数的单调递增区间时,由f′(x)>0解出x,再与定义域求交集才是函数的单调递增区间;求函数的单调递减区间时,由f′(x)<0解出x,再与定义域求交集才是函数的单调递减区间。同学们要牢记函数单调区间的求法,一定要定义域优先。

正解:前面同错解得-1

易错点三、误以为导数不存在,切线就不存在

错因分析: 错解1主要是未能厘清导数与切线、切线斜率之间的关系,误以为导数不存在,切线就不存在;错解2考生混淆切线斜率为0与斜率不存在。实际上,大家要准确理解斜率不存在,可以理解为该切线为x=x0,结合过原点(0,0),其实切线方程就是x=0。

易错点四、对曲线切线的定义理解有误

错解:由于直线y=4x-4 与曲线C相切,因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点。

错因分析:对于圆、椭圆等封闭的几何图形来说,“切线与曲线有唯一公共点”,就是说直线与这些曲线的交点只有切点,没有其他点,但对一般曲线来说是不一定成立的,同学们可以画出三次函数的草图试一试。

易错点五、混淆单调区间为D 与在区间D 上单调

易错点六、误以为导数为0的点一定取得极值

例6已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=( )。

A.4 B.11

C.4 或11 D.3或9

错因分析:若函数在x=x0可导,则f′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的必要条件,而非充要条件。如y=x3在x=0处的导数值为0,但0不是该函数的极值点。因此,需要将求出的m、n的值代入导函数中检验。

易错点七、混淆极值与最值

例7求函数f(x)=x3-2x2+x在[-3,3]上的最值。

错因分析:函数并不一定在极值点处取最值,最值是针对函数的整个区间而言,是整体性质,而极值是局部性质,是两个不同的概念。对于闭区间而言,需要将极值与端点处的函数值进行比较,才能得出函数的最值。

易错点八、对极值理解有偏差

当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增。所以g(x)min=g(1)=e,所以k

综上所述,k≤e。故选A。