例析曲线的切线与函数单调性问题

■湖南省郴州市第二中学 旷东北

导数的几何意义即曲线的切线的斜率,是导数在函数中最基础与最直接的应用。导数不仅用于函数图像的切线的研究,还可用于解析几何中曲线的切线的研究。

导数是研究函数的单调性最有效的工具。利用导数判断函数的单调性,进而证明不等式;求函数的零点与极值(最值),解决生活中的优化问题;已知单调性求参数等问题,都是高考的重要考点。

一、曲线的切线问题

曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程的求法:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率是f′(x0),切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

曲线y=f(x)过点Q(a,b)的切线方程的求法:设切点为(x0,f(x0)),则切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),将(a,b)代入得b-f(x0)=f′(x0)(a-x0),由此求出切点坐标(x0,y0),再代入切线方程即可。

例1过点P(a,b)可以作出曲线y=lnx的两条切线,切点分别为A,B两点。

(1)证明:0

(2)设线段AB的中点M的横坐标为x0,试比较x0与a的大小关系。

若a≤0,则g(x)为增函数,至多有一个零点,不合题意。

因此a>0,求导得g′(x)=当x∈(0,a)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增。所以当x=a时,g(x)取得最小值g(a)=lna-b。若要使g(x)有两个零点,则需g(a)<0,即lna

(2)依题设,只需比较x1+x2与2a的大小关系。

二、函数的单调性问题

可导函数y=f(x)在区间D上单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立,且使f(x0)=0的x0在D内是孤立的点。

1.利用导数求函数的单调区间

2.根据函数的单调性求参数的取值范围

例3已知函数f(x)=ex+sinxcosx-ax。

(1)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围。

(2)设函数g(x)=f(x)-ln(1-x),若g(x)≥0,求实数a的值。

解析:(1)由题意知f′(x)=ex+cosx+sinx-a。因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0,分离参数得a≤ex+cosx+sinx对任意x∈[0,+∞)恒成立。

综上,在[0,+∞)上,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以a≤h(x)min=h(0)=2。

故实数a的取值范围为(-∞,2]。

综上所述,当g(x)≥0时,a=3。

点评:第(1)题,由已知转化为a≤h(x)=ex+cosx+sinx恒成立,再转化为求h(x)min。对含三角函数的函数可借助三角函数的有界性分类讨论。第(2)题,先由g(x)≥g(0) (x<1)且等号成立,可知g(x)存在极小值点x=0,求得必要条件a=3;再证明a=3为g(x)≥0的充分条件即可。

该部分内容主要考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值、零点等,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养。