同构函数与极值点偏移问题的应用探究

■湖南省郴州市第一中学 李 强

应用导数研究函数问题,构造与转化至关重要,构造的函数恰当,则往往能起到事半功倍的效果。在含有x,ex,lnx的混合式的处理过程中,有时用同构函数法可大大简化运算过程。解决极值点偏移问题的重要方法也是构造函数,即根据函数y=f(x)的极值点x0构造函数。若需证x1+x2>2x0,则令F(x)=f(x)-f(2x0-x);若需证x1x2>则令再根据f(x)的单调性,将问题转化为判定F(x)的符号问题。

一、同构函数的应用

例1已知不等式e2ax+lnx≥(2a+1)x对任意的x∈(1,+∞)恒成立,则正实数a的取值范围是( )。

评注:将已知不等式移项,利用和差型同构思路,使两边化为同一个外层函数单调性确定的复合函数,转化为形式更简单的等价不等式。

综上所述,不存在过原点的直线与f(x)的图像相切。

先分别证不等式ex≥x+1 ①;lnx≤x-1 ②。(过程略)

由①知,ex+lnx≥(x+lnx)+1,即xex≥x+lnx+1,取等号的条件是x+lnx=0。

由②知,lnx-x+1≤0,又x>0,故x(lnx-x+1)≤0,取等号的条件是x=1。

二、极值点偏移问题

解决极值点偏移问题的主要方法有构造函数法,换元法等。

当a≤0时,f′(x)>0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0 时,f′(x)<0的解集为(0,a),f′(x)>0的解集为(a,+∞),即f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增。

综上可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增。即φ(x)在(0,e)上单调递增,则0<φ(x)<φ(e)=e,故h′(x)<0,h(x)在(0,e)上单调递减。而(0,a)⊆(0,e),所以当x∈(0,a)时,h(x)>h(a)>h(e)=1,即当x∈(0,a)时,成立,故有x1x2

综上所述,a2

以上例题主要考查不等式恒成立时求参数范围、证明函数不等式、求函数最值等问题,适时应用同构函数法等可突破难点,提高转化与化归思想、分类讨论思想的应用能力,提升数学运算、逻辑推理等核心素养。