广义梅涅劳斯定理及三角形相交线公式

上海启振教育(200135) 余学峰

1 广义梅涅劳斯定理

已知: 如图,在三角形ABC中,AE交DF于O点,并且AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BE:EC=c:c′,求:AO:OE,DO:OF数值.

解答: 1. 如图,做辅助线DG和FH,并且平行于BC,在ΔABE中,

同理在ΔACE中,

联立①和②,可知:DG:FH=ac(a′+b′):a′c′(a+b),又因为BG//FH,所以DO:OF=DG:FH=ac(a′+b′) :a′c′(a+b)极美的对称性!

2. 下面来求AO:OE的数值:

(1)假设a/b＜a′/b′,因为DG平行FH,所以

另外,在ΔABE中,

同理在ΔACE中,

由②得:

由③得:

联立④⑤可得:

联立①⑥得:

所以,联立④⑦⑧⑨可以得到:

那么,根据以上两项,经过大量复杂的计算和化简可知:AO:OE=aa′(c+c′):(ab′c+a′bc′)又是极美的对称性!

(2)假设a/b＞a′/b′,同理可得以上结果.

(3)假设a/b=a′/b′,即DF//BC,以上结果仍然成立.

2 为何称为“广义梅涅劳斯定理”?

在这里,很多读者认为数学论文到此就结束了,其实不然. 为什么我称这个定理为广义梅涅劳斯定理呢? 我们可以令b=0,则DO:OF=c(a′+b′):c′a′,这不就是梅涅劳斯定理吗? 而且,AO:OE=a′(c+c′) :b′c,这也是梅氏定理啊! 我们还可以令b′=0,则DO:OF=ac:c′(a+b),这也是梅氏定理,且AO:OE=a(c+c′) :bc′,这个还是梅氏定理. 所以,我们说: 这个数学定理(或者说数学公式)是广义梅涅劳斯定理,它的某种特例表现为梅涅劳斯定理.

3 五种“三角形相交线”数学模型及公式

三角形中另有两根相交线段,共有五种形式如下(下有附图):

1. 两根线段都由三角形顶点引出, 并且相交, 这种情况的线段比例或线段长度可由梅涅劳斯定理求出: (令AD:DB=a:b,AE:EC=a′:b′)

2. 两根线段一根由三角形顶点引出,一根是边到边,并且相交, 这种情况的线段比例或线段长度可由广义梅涅劳斯定理求出: (令AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BE:EC=c:c′).

3. 两根线段一根由三角形顶点引出, 一根是边到边, 并且相交, 这种情况与第一种很相似, 它的线段比例可由梅涅劳斯定理求出: (令AD:DB=a:b,BE:EF:FC=a′:b′:c′)

4. 两根线段都是边到边, 并且相交, 这种情况可以由梅氏定理求解: (令AD:DE:EB=a:b:c,AF:FG:GC=a′:b′:c′)

5. 两根线段都是边到边,并且相交,这种情况非常复杂,必须由梅氏定理和广义梅氏定理求解: (令AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,BG:GE:EC=c:o:c′)

公式5 的证明: 连结CD和DG,CD交FG于O′. 在ΔABC中,根据本人的广义梅涅劳斯定理有:

又因为在ΔCDG中,根据梅涅劳斯定理有:

并且,

4 具体运用

综上所述,关于三角形内两根相交线段的问题就可以得到全面的解决,也为三角形内蝴蝶模型的计算以及更为复杂的三线相交乃至多线相交问题的简便快速计算打下了坚实的数学基础. 举例如下:

例1: 已知ΔABC中AD:DB= 1 : 2,BE=EC,CF:FA=1:2,求DO:OF,AO:OE.

解: 根据广义梅涅劳斯定理,

有了定理在手,就可以秒杀了!

例2: 已知ΔABC中,AD:DB= 1 : 1,AF:FC=1:2,AO:OE=5:7,求DO:OF.

解: 设BE:EC=c:c′,根据广义梅涅劳斯定理,同样根据广义梅涅劳斯定理,并结合上式,

同样是轻松解决.

例3: 在ΔABC中,BE:EC=2:1,DO:OF=3:1,AO:OE=3:5,求AF:FC.

解: 令AD:DB=a:b,AF:FC=a′:b′,根据广义梅涅劳斯定理知,

同理可知:

联立①②可得:a:b= 1 : 1,a′:b′= 1 : 2, 所以,AF:FC=1:2.

这道题如果不用广义梅氏定理,当然也可以解出,只是非常复杂.

例4: 已知ΔABC中AD:DB= 1 : 2,BE=EC,CF:FA=1:2,求AO:OO′:O′E.

解: 根据广义梅涅劳斯定理知,

由梅涅劳斯定理知,

联立①②,得:

联立①②③,得:AO:OO′:O′E=20:16:9.

本题有着普通数学竞赛题的难度,但是用了两大定理之后,可以秒杀,可见运用之方便!

例5: 如图, 在ΔAC0C71中,AB0:B0C0= 1 : 1,AB71:B71C71= 2 : 1,C0C1:C1C2:···:C30C31:···:C70C71= 1949 : 1950 :···: 1979 :···: 2019, 求:B0B1:B30B31:B70B71.

本题是一道国庆献礼题, 由本人在伟大的祖国成立70周年之际所创立,用来比喻我们伟大的祖国越来越富强,越来越繁荣昌盛! 所求三个数值分别对应着1949 年建国、1979年改革开放、2019 年新中国成立70 周年. 本人起初用了一个多小时才解出此题,后来本人钻研出广义梅涅劳斯定理之后,十分钟左右解答完毕,可见广义定理的实用性!

同理,

联立③④可以得出:

(注: 如果需要准确的数学值也可以,只是数值过于复杂,没有必要,所以用了近似值),联立①②⑤,可知:

这三个线段分别代表了1949、1979、2019,它们的数值越来越大,从“1”到“1.27”,再到“1.83”,以此比喻我们的祖国必将越来越强盛、越来越美好!