“直观想象”素养下的立体几何最值问题求解策略

摘 要：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段.文章基于直观想象的立体几何最值问题的解决，将动态问题静态化，空间图形平面化，几何问题代数化，加强了问题的可视化、可解化，推动了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等素养的培养.

关键词：直观想象；化动为静；化曲为平；化折为直；化形为数

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）22-0034-03

立体几何，其核心是“立体”问题与“几何”問题，其本质是平面几何的三维化，是代数问题的几何化.立体几何的考查中常常涉及距离、角度、面积和体积等最值问题，此类最值问题的考查，往往与其他多个模块的知识融合交汇，如平面几何、函数、向量等，因此备受命题者青睐.此类问题的求解，不仅需要丰富的空间想象能力、扎实稳定的运算能力，还需灵活运用转化与化归、数形结合等方法将动态问题静态化、空间问题平面化、几何问题代数化.这些等价转化都是建立在学生对空间几何体的精准认识、熟练认知的基础上，同时要求学生必须具备“直观想象”素养.

1 借助直观想象，动态问题静态化

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养[1].数学教学要注重培养学生的直观想象素养.正如史宁中教授所说：“数学的结论常常是‘看出来的，不是‘证出来的.这种‘看依赖的就是数学直观.直观不是‘教出来的，而是学生自己‘悟出来的，这就需要经验积累.”

教材，便是学生经验萌生的摇篮.新课标新要求下的新高考，对立体几何问题的命制充分体现了以各版本教材为基础，将核心素养融入试题.因此，教学时教师应充分利用好教材中的例题和习题，深度挖掘教材中隐含的数学思想和数学方法，帮助学生积累解决问题的经验，切实提升学生的数学核心素养[2].

链接教材 （人教A版必修二119页练习第3题）将一个棱长为6 cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为.

解析 当球与正方体内切时体积最大，为36πcm3.

评析 从问题表象看是一个将正方体磨制成球体、从外向内、削棱去角的过程，问题的实质可以看成正方体内部有一个球，不断膨胀后达到极限状态——与正方体的六个面均相切，即为正方体的内切球时不能再膨胀.

这是一个借助几何直观，通过寻找临界状态，将动态问题转化为静态问题，即“化动为静”的过程.

案例1 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为.

解析 由题意可得：使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动且圆锥侧面积最小时的临界状态即为四面体的外接球，也恰为圆锥的内切球.要解决本题则需要解决两个静态问题：（1）四面体的外接球半径R；（2）圆锥的内切球半径为R时求圆锥的侧面积.首先解决第一个问题：这个四面体的特征——对棱相等，这一特征我们可以借助构造“长方体”模型的方法来直观求解外接球的半径.设长方体三条侧棱长为a，b，c，则a2+b2=4，b2+c2=4，c2+a2=1，三式相加得a2+b2+c2=92，故外接球半径为R=324.再来解决第二个问题：轴截面为等边三角形，边长为2r，所以圆锥的内切球半径即为等边三角形内切圆半径，由13×32×2r=324，解得r=364，所以圆锥的侧面积为S=12×2πr×2r=2πr2=27π4.

2 借助直观想象，空间图形平面化

空间问题平面化即降维是处理立体几何问题的一种重要的思想方法．空间问题平面化，就是将空间的点、线、面的关系平铺到同一平面上进行研究，在这个平面中将已知和目标的各个元素串联在一起，通过研究各元素间的关系，使得空间问题转化为平面问题.

案例2 已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为.设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达点B后再沿侧面回到点A，则该质点运动路径的最短长度为.

解析 （1）利用圆锥的轴截面可求得高为32-1=22，所以圆锥体积V=13Sh=13π×12×22=223π.

（2）设圆锥顶点为S，沿着母线SA将圆锥的一半侧面展开，可得侧面展开图是圆心角∠ASB=π3的扇形，在正△ASB中，从A到B的弦长为3，故所求最短路径为6.

评析 曲面上路径最短问题，可以借助平面上的常用结论——两点间距离线段最短，借助几何转化，将曲面问题化为平面问题——化曲为平.既然有化曲为平，那折线段最短问题又怎么解决？

案例3 （多选）如图1所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，P是A1B上的一动点，则（）.

解析 （1）求DP的最小值即求点D到线段A1B的距离，在等腰△A1BD中利用等面积即可求，选A.

（2）解决折线段和最小问题，教师可先给出如下引导问题：

一个质点在长方体表面从点A出发运动到点C1的过程中，运动的最短路径长度为.

将平面ABB1A1和平面BCC1B1沿BB1展开，则最短路径为线段AC1的长度，为22.

再来解决题设问题：当点P在A1B上运动，A1B是平面ABA1和平面A1BC1的交线，因此将平面ABA1和平面A1BC1沿A1B展开，AP+PC1的最小值即为线段AC1的长.如图2，AB=1，A1C1=2，

评析 折面上路径和最短问题，依然可以类比前面已经解决了的曲面上线段最短问题的解决策略——化折为直.将折面沿交线展开平铺，这样折线段最短就可以转化为直线段长度和的问题，此转化可以将立体几何问题化归为平面几何问题.

3 借助直观想象，几何问题代数化

代数重点研究数字和文字的代数运算理论和方法；几何主要研究空间结构及性质.代数与几何相辅相成，融为一体.通过转化与化归，我们可将立体几何的最值问题转化为函数最值，借助函数求出最值.

案例4 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是.

解法2 建立以正四棱锥侧棱长为变量的函数求最值：设底面中心为M，球心为O，外接球的半径为R，设OP=OA=R，则由43πR3=36π，解得R=3.由（PM-3）2+MA2=9，得PM2-6PM+9+MA2=9，即PM=l26，MA2=l2-l436，即AC2=4l2-l49.故正四棱锥体积V=13×（2l2-l418）×l26=1324（36l4-l6）.令f（x）=1324（36x2-x3），x∈［9，27］，则f ′（x）=1324（72x-3x2）.令f ′（x）=0，解得x=24.从而由函数f（x）在［9，24）上单调递增，在（24，27］上单调递减，知V∈［274，643］.

评析 该题考查的是锥体体积的取值范围的求解问题，可以引入两个变量，借助两个变量之间的等量关系先消元，再通过求导判断出目标函数的单调性，从而求出目标函数的值域，即将几何问题代数化来解决立体几何中的最值问题.

基于直观想象的立体几何最值问题的解决，改变了原有问题的抽象状态，将问题具体化、形象化，使学生在解决问题的过程中不再是面临冰冷的数学符号和图形，而是通过直观想象加强了问题的可视化、可解化，使学生在问题的解决过程中推动了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等素养的培养.因此，立体几何教学中，我们应该继续专研教材教法，重视知识的交汇，将直观想象落到实处，促进学生核心素養的提升，让想象与推理并重，几何与代数齐飞.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 岳峻，杨忆婷.数学可视化：提升直观想象素养的有效途径[J].中学数学教学参考，2021（22）：25-28.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者简介：王芬芬（1982.11-），女，江苏省南京人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.