对几何直观的认识和培养

李树臣 栾尚锋

【摘 要】《课标（2022年版）》提出了“三会”的数学核心素养目标，初中阶段的核心素养包括九个行为表现，几何直观是其中之一.几何直观是学生整体素养不可或缺的部分，数学教学应加强对学生几何直观的培养.学生几何直观的形成与发展是在过程中实现的，在对几何直观初步认识的基础上，提出了三个培养学生几何直观的策略.

【关键词】核心素养;几何直观;培养策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在“课程目标”中提出了“核心素养”的概念，并将“几何直观”作为初中学段核心素养的主要表现之一^［1］.本文首先谈谈对几何直观的认识，然后探讨其教学策略.

1 对几何直观的认识

徐利治^［2］教授认为：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知.”

《课标（2022年版）》认为“几何直观”是“运用图表描述和分析问题的意识与习惯”.分为四个层次：（1）能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；（2）根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；（3）建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；（4）利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路^［1］.可见，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.

几何直观不仅能为学生学习几何知识、进行几何探究与推理提供便利，而且能为学生理解与洞察其他更为抽象的数学内容与结构搭建桥梁，几何直观是启发问题解决思路的基本策略^［3］.初中阶段的几何直观主要表现为7个方面，“能通过尺规作图、折纸、剪拼等操作活动，感知图形的结构特征”是其中之一^［4］.

对于这一表现，文［5］认为尺规作图是欧氏几何的基础，尺规作图的操作过程有助于学生认识图形的组成元素及其位置关系，对图形的结构特征形成直观感知，进而为逻辑推理奠定基础.在初中数学教学中，不能把尺规作图简单的看作是“图形与几何”的任务，应将其当作一种感知几何图形、理解图形性质、探究几何规律的认知工具.这种表现行为包括三个方面^［5］：

（1）能用直尺和圆规作出基本图形，感悟尺规作图的合理性及图形的几何特征.例如，在用尺规作图作一个角的平分线的同时，能探究得到角平分线的性质，这个性质有两个方面的意义：一是“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，这是角平分线上的点具有的共同属性（这条平分线上的任何一点都满足到角两边的距离相等的特性），让学生认识到在角平分线上的点，不掺杂一个不具有这种性质的点；二是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，这是角平分线的本质（到一个角两边距离相等的点都在这个角的平分线上），让学生感悟到角平分线外的任何一点到这个角两边的距离都不相等.

（2）能利用尺规作图探讨几何图形的存在性与结构特征.例如，学生通过用尺规作三角形的外接圆，能发现这个外接圆的存在性和唯一性：三角形的三条边都是线段，由于线段的垂直平分线有且仅有一条，所以三角形两边的垂直平分线一定有交点，而且这个交点只能有一个，从而对“任意三角形都有唯一一个外接圆”深信不疑.因此，任意一个三角形都有一个外接圆.对于每个三角形都有唯一一个内切圓也可以类似进行说明，正因为每个三角形都有唯一一个内切圆，所以根据直角三角形的三边长就可以求出这个圆的直径.刘徽曾用两种方法证明了《九章算术》中的“勾股容圆”公式.

（3）能利用折纸、剪拼等操作活动对简单图形进行变换、分解与组合，解释操作过程的几何原理，明确操作前后图形的关系.折纸的数学原理就是轴对称，通过图形的剪拼活动可以直观感知图形的形状和大小，形成头脑中的表象，为空间想象建立直观基础.

案例1 打印纸中的数学^［6］.

Ａ４打印纸的长与宽之比为2，可以用下面两种折纸的方法进行验证并证明：

方法１：如图１，将Ａ４打印纸折叠，使点Ａ落在BC边上，得折痕BE．再将四边形BCDE折叠（如图２），发现点Ｅ落在点Ｃ处．由折叠过程可知，BC=BE=√^—2AB.

方法２：如图3，将Ａ４打印纸折叠两次，设两条折痕的交点为Ｏ．再将四边形ABOE折叠（如图４），发现点A落在点Ｏ处．由折叠过程可知，BC=√^—2OB=√^—2AB.

20世纪最伟大的数学家之一希尔伯特在《直观几何》一书中谈到：图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果.

总之，几何直观有助于学生更好的学好数学，也是一种数学学习与问题解决的工具，在其他领域的数学学习中有广泛的应用^［5］，被《课标（2022年版）》作为学生数学核心素养的重要表现之一.

2 初中生几何直观素养的培养策略

几何直观素养的形成离不开“图形”，几何图形是培养直观素养的最佳“载体”，这里的“直观”既包括能看得到的“实物”，也包括依托看到的“实物”进行思考、想象，而且这一点更为重要.几何直观素养的培养既离不开“图形”，也离不开“过程”.这里的过程主要指下面的三个：

2.1 数学概念的形成过程

许多几何概念都有“实物”模型，在对这些概念的教学中，教师要精心设计问题系列，引导学生经历概念的形成过程，在建立概念的同时加深对基本图形的认知，感悟几何直观的思想.

案例2 三角形内切圆概念的建立过程.

为了在三角形内切圆概念的建立过程中培养学生的几何直观素养，我们设计了下面的问题系列：

（1）你能在∠AOB的内部（图5）

作一个圆使其与两边OA，OB都相切吗？

（2）任意作一个△ABC，你能在△ABC内部作一个与各边都相切的圆吗？怎样确定出这个圆的圆心的位置？

（3）怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相切呢？

（4）你能说出上面作图的道理吗？与三角形各边都相切的圆有几个？

设计意图 《课标（2022年版）》在“课程内容”中对三角形内切圆的概念没有提出明确要求，只有两条与之相关的要求：（1）了解三角形的内心；（2）能用尺规作三角形的内切圆.三角形的内心是三角形内切圆的“附属”概念，因此在教学中必须先给出三角形内切圆的概念.

我们采用的是先用尺规作一个与三角形各边都相切的圆，说明这个圆是确确实实存在的，而学生又不认识，于是需要给这个“圆”起个名字.教学的重点放在引导学生探究作图的过程上，于是，我们设计了上面的四个问题系列.

对于问题（1），学生很快就能作出图6所示的无数个圆，而且归纳出这无数个圆的圆心都在∠AOB的平分线上.在思考这个问题的基础上，学生对于问题（2）能给出肯定的回答：只要作出△ABC两角的角平分線，两条角平分线的交点就是与三角形各边都相切的圆的圆心.

有了问题（2），学生很容易给出问题（3）的解答过程：

已知：△ABC（如图7①）.

求作：⊙I，使它与△ABC各边都相切.

作法 （1）分别作∠ABC和∠ACB的角平分线BD和CE，BD与CE相交于点I（如图7②）；

（2）过点I作IF⊥BC于F.

（3）以I为圆心，IF为半径作圆.

⊙I即为所求作的圆.

对于问题（4），学生根据作法可给出解释，并作出⊙I是唯一的回答.

这时教师给出三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念.

这种设计首先从作图得到一个特殊的圆，然后给出三角形内切圆的概念.在建立三角形内切圆概念的同时，学生进一步熟悉尺规作图的原理，并且培养了学生的几何直观素养.

对于一些抽象但图形本身比较直观的数学概念，教学中可以利用图形对其概念进行直观表征，这样能使抽象的数学概念直观化，这种教学有助于学生加深对数学概念的理解和记忆，认识概念的内涵及本质特征.还有助于学生把新学习的概念纳入到已有的知识结构体系中，进一步优化和扩大学生的知识结构.

2.2 数学规律的探究过程

美籍匈牙利数学家波利亚在《数学的发现》中指出：“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”.数学定理、公式、性质等都是反映数学对象和概念间关系的具体知识，我们不妨称之为“数学规律”.数学规律是数学的“核心”知识，《课标（2022年版）》界定的“课程内容”中有很多数学规律，如乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b²，（a±b）²=a²±2ab+b²；一元二次方程根与系数的关系；三角形两边之和大于第三边；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；勾股定理及其逆定理；多边形的内角和与外角和公式；圆周角与圆心角及其所对弧的关系等等.

对于“数学规律”的教学，我们都可以通过设计的问题系列，引导学生结合相应的几何图形经历探究、发现这些“数学规律”的过程，同时达到培养学生几何直观，提升数学核心素养的目标.

案例3 一元二次方程求根公式的推导过程.

【问题呈现】

一个正方形与一个长方形的面积之和等于c，如果长方形的一边长为b，另一边长恰好等于正方形的边长，求这个正方形的边长.

【割补图形】

如图8，设正方形的边长为x，则长方形的另一边长也为x.

（1）把长方形沿虚线剪开，得到两个全等的小长方形（如图9）；

（2）把其中一个小长方形放到图8所示的正方形右边，另一个放到它的下面；然后在右下角补上一个边长为b/2的小正方形，由此得到图10所示的大正方形.

【观察发现】

（1）图10中大正方形的边长为__________，其面积为__________.

（2）用含b，c的代数式表示这个大正方形的面积，则为__________.

（3）由（1）（2）你能得到怎样的方程？这个方程的解是什么？

【抽象思考】

（4）对于一般的方程x²+bx=c来说，它的解为__________.

（5）为了推导方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式，我们可以在等式两边同除以a，这时方程变为x²+b/ax=－ca，只要把方程x²+bx=c中的b换成b/a，c换成－c/a，则根据（4）的结果可得到方程ax²+bx+c=0的解为x=__________.

设计意图 一元二次方程求根公式是《课标（2022年版）》界定的“数与代数”领域的课程内容，目前的大部分教材，基本上都是利用配方法推导出来的.为了更好的培养学生的几何直观素养，我们设计了“问题呈现—割补图形—观察发现—抽象思考”四个部分.

这就是大家熟悉的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

本案例立足于从图形的面积出发，推导出一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式，对学生来说是一个“全新”的过程，这种推导方法凸显了“数学史”的意义，这对于激发学生的学习数学的兴趣，欣赏数学美，感悟数形结合思想，加深对“出入相补原理”的理解和认识，增强几何直观等素养都具有积极的价值.

2.3 解决问题的过程

学习数学知识的目的在于利用所学知识解决有关问题，解决问题的方法很多，数形结合是常用的一种解决问题的方法，由于这种方法能把“数”与“形”相互转换，因此，在学习中经常遇到通过构造图形解决代数问题，也可以将几何问题转换成代数问题进行求解.从而把复杂的数学问题简单化，同时有助于学生进一步加深对数形结合的理解和认识，培养学生的几何直观素养.

案例4 有一块如图11所示的土地，要用一条直线把它分割成面积相等的两部分，应如何确定出直线的位置？

設计意图 我们知道要确定一条直线的位置，只需要确定出两个点就可以.由于本题没有指明这条线要经过哪一个点，所以学生感到无从下手.教学时可引导学生首先固定一点，然后根据“分割成面积相等两部分”的要求得到另一点的位置，然后连线就可以得到这条直线.这是一道开放性的问题，这条直线可以用多种确定方法，例如，下面几种方法学生都能接受：

为解答方便，不妨设图中小正方形的边长为a.

方法一：可以先确定点A，再确定点G，如图12，设AG符合要求，只要求出CG的长度就能确定出点G.

方法三：在CD上取DH=12a，连接BH即为所求（如图13）.

本题中能把图11所示的土地分为二等分的直线有多种位置，从而本题有多种解决方法，教师在教学中可根据学生的接受能力适当选取几种解法引导学生去思考、探索.这样的问题对于学生几何直观、计算能力等素养的培养都是非常有益的.

学生的几何直观素养是在日积月累的学习与体验中逐步形成的，形成过程是一个漫长的过程.我们结合案例说明了三个常用的培养策略，在实际教学中，教师要认真学习《课标（2022年版）》，研读教学内容，不断探究培养学生几何直观的教学方法，通过培养几何直观达到提高学生数学核心素养的目的.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.5.

［2］徐利治.谈谈我的一些数学治学经验［J］.数学通报，2000（05）：1-4.

［3］李树臣.论几何直观的教育教学价值［J］.中国数学教育，2015（7-8）：9-13.

［4］史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.8.

［5］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之三：几何直观［J］.中国数学教育，2022（7-8）：3-9.

［6］王晓峰.数学实验与逻辑推理［J］.数学通报，2021（03）：13-17.

［7］张莉.探析初中数学教学中学生几何直观素养的培养［J］.数学之友（南京），2022（11）：2-5，9.

作者简介 李树臣（1962—），男，山东沂南人，中学正高级教师;临沂大学学生学业导师，山东省教育科研先进个人，山东省创新教育先进个人，三次获山东省省级教学成果奖;全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者，中国人民大学《复印报刊资料·初中数学教与学》编委，湖北大学《中学数学》特约编委.

栾尚锋（1968—），男，山东莱芜人，市优秀班主任，市教育教学先进个人;主要研究数学课堂教学.