反推分析寻突破　深度挖掘探本质

2023-09-12俞黎卿

中学数学杂志(初中版) 2023年4期

关键词：数学素养变式分析法

【摘要】以一道几何压轴题为例，分析低分率的原因并通过分析法寻找解题突破点，尝试找到解法间的联系，为学生提供解题方向.然后对试题研究后拓展原题结论并进行变式研究，开拓学生解题思路的同時并发展学生的数学素养.

【关键词】分析法;变式;数学素养

1 原题呈现

题目如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，点D是边BC

上的任意一点，以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，并连结EC.

（1）当点D与顶点B重合时，求证：点E恰好是BC的中点;

（2）当点D在线段BC上时（不含B，C两端点），求证：AE=EC.

2 试题剖析

本题来源于一道中考模拟题，第（1）问较常规，得分率较高.而第（2）问的得分率只有11%，原因其一：大多数学生想从等角对等边入手，要证明AE=EC，即证明∠EAC=∠ACE.因此尝试把这些角表示出来，如图2，设∠BAD=α，则∠EAC=30°－α，∠EDC=α，但是始终无法表示∠ACE.如果绕进了想去表示∠ACE的这个圈子出不来，那就会消耗大量时间，也就影响了问题的解决.

其二：学生缺乏对含30°角的特殊直角三角形性质的充分认知，无法充分利用各边的比例关系获取相应线段的等量关系，也缺乏几何中证明两线段相等的相关经验，因此无法找到解决问题的有效路径.

如何引导学生去分析图形特征？如何发现解题的思路？因此本文尝试从分析法入手找到解题的突破点，让解题思路更加流畅，同时进一步挖掘题目的本质内涵.通过对试题的深度研究，拓展原题的结论并进一步变式改编从而激发学生的兴趣，引发学生的思考，最终提升学生的解题能力和综合分析能力.

3 解法探究

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：“在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力.”^［¹^］因此，在日常解题教学中，教师要引导学生尝试挖掘图形隐藏的信息，培养学生化繁为简、化难为易的转化思想，促进学生学会合乎逻辑地去思考，促进学生自然生成解题思路.

本题要证明两条线段相等，常用方法有：全等三角形、线段垂直平分线、等角对等边、直角三角形斜中线、平行四边形的性质、圆的性质等.基于图形中有两个特殊三角形，分别是含30°角的直角三角形和等边三角形.本文引导学生分析图形的结构特征，尝试通过分析法寻找解题的突破点.

3.1 反推分析明思路

原题中要证明AE=EC，通过反推分析当AE=EC时，必然点E在线段AC的中垂线上.如图3，直线NM为AC的中垂线，那么必然有与AC的交点N和与BC的交点M，这两个点的位置其实很特殊，分别是AC和BC的中点.因此也就有了解题的思路，如果以点N的角度出发，那么作EN⊥AC，只需证明AN=NC；而若以M点的角度出发，那就找到BC的中点，也许利用直角三角形斜中线会产生新的解题思路.

3.2 转化思想造全等

上述3.1中根据反推分析，若作一条高EN⊥AC，则需证明AN=NC.经过分析直接找全等三角形证明AN和NC相等有点困难，而含30°角的直角三角形成为解题的关键.因为AC=2AN，若作一条高AM，则AC=2AM，所以此题转化成证明AN=AM，只需证明△ADM≌△AEN即可.

证明1 如图4，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AC于点N.

因为∠DAM+∠BAD=30°，∠EAN+∠BAD=30°，所以∠DAM=∠EAN.因为∠AMD=∠ANE=90°且AD=AE，所以△ADM≌△AEN，即AM=AN.因为在Rt△AMC中，∠ACM=30°，所以AC=2AM.又因为AM=AN，所以AC=2AN，从而EN垂直平分AC，所以AE=EC.

说明1 该解法利用数学转化思想，将证明AN=NC转化成证明AN=AM，充分利用了含30°角直角三角形的特殊性质.当然也可以过点E往BC作垂线段，过点D往AC作垂线段，辅助线的构造不一样而解法是类似的.

3.3 巧用中点破困局

上述3.1中根据反推法，可以知道BC的中点M是个特殊的位置，若利用好这个点可以达到事半功倍之效.因此可以往直角三角形的斜边中点出发，当然也可以利用辅助圆来用好这个中点.

证明2 如图5，取BC的中点M，并连结AM和ME.

因为M是斜边BC的中点，所以AM=BM=CM.因为∠B=60°，所以△ABM是等边三角形.因为AB=AM，∠BAD=60°－∠DAM=∠MAE，AD=AE，所以△ABD≌△AME，所以∠AME=60°，∠EMC=180°-∠AMD-∠AME=60°.因为AM=MC，∠EMC=∠AME，EM=EM，所以△AEM≌△CEM，即AE=EC.

证明3 如图6，过点A，D，E作圆O交BC于点M，分别连结AM和EM.

因为A，D，M，E四点共圆，所以∠AMD=∠AED=60°，∠AME=∠ADE=60°.因为∠AMD=60°且∠MCA=30°，根据三角形外角性质得∠CAM=30°，所以AM=MC.因为AM=MC，∠EMC=∠AME=60°，EM=EM，所以△AEM≌△CEM，即AE=EC.

说明2 证明3其实是在证明2的基础上改进，证明2通过斜中线来构造全等三角形从而找到对应等量关系，而证明3通过作圆直接找到中点，利用圆周角性质获得角的等量关系.辅助圆的添加，让解题变得更加简洁，提高了解题速度，也可以更好的凸显题目的本质，一切变得非常明了简单^［²^］.

3.4 以数助形新思路

由上述3.1分析，要证明AE=EC，过点E作EM⊥AC于点M，证明AM=MC即可.在试题剖析中只考虑角度无法解决问题，因此尝试将角度和长度两个量相互结合，用三角函数法进行解题.

证明4 如图7，过点E作EM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AB于点N，设∠BAD=α，则∠EAM=30°－α，设AD=AE=r.在△ABD中，AN=rcosα，DN=rsinα，BN=DNcotB=33rsinα，则AB=AN+BN=rcosα+33rsinα.又因为在

Rt△ABC中，∠ACB=30°，所以AC=3AB=3rcosα+rsinα.在Rt△AEM中，因为AM=rcos（30°－α）=32rcosα+12rsinα，所以AC=2AM，即ME垂直平分AC，从而AE=EC.

说明3 解法用三角函数充分利用了角和边的关系，以数助形，把几何问题转化成代数问题，当然如果能利用正弦定理来表示AB会更加快捷.三角函数法在思维上更加直接，最终也转化成纯粹的代数计算.当然三角函数法更多的应用在高中数学，对初中生来说还是有一定的难度，也打通了初中数学和高中数学的联系.

4 深度研究

研究一道题，多解是一种追求，但更重要的是挖掘问题的本质，目标是“做一题，会一类，通一片”^［³^］.在学生研题解题过程中，不仅是知识技能的学习过程，更是融入观察、阅读、思考，体现几何直观和推理能力的过程.有助于学生的深度学习，让学生学会类比迁移，达到“授人以渔”的教学目的.

好的题目需要回味，题目的原型是什么？有没有更加一般的情形？能否再提出更深层次的问题？^［⁴^］带着这样的思考，本文尝试将原题的结论进一步拓展，

最后完成对试题的再改编.

①点D的位置由线段BC拓展到直线BC上

原题中点D的位置是边BC上的一点，考虑到特殊情况，如果点D恰好与点B重合，如图8（1），就是典型直角三角形斜中线问题了，显然有AE=EC，这就是题目的原型.继续探究点D的位置从线段BC拓展到直线BC上，那么就出现图8（2）和图8（3）的情形，此时原题的结论依旧成立，原题的解题方法也同样适用于其他情形，具体证明略.通过对原题的拓展，进一步培养学生的分类讨论的数学思想，培养学生融会贯通的能力，提升学生的深度思考能力.

结论推广1 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，点D是边BC所在直线上任意一点，以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，并连结EC，均有AE=EC.即点E刚好在AC的中垂线上，点E的运动轨迹刚好是一条直线.

②拓展以AD为边在其左侧作等边三角形

原题中是以AD为边在其右侧作等边三角形ADE，如图9，试想在AD边的左侧作等边三角形是否还有类似的结论，很显然AE≠EC.如图9（2），通过几何画板尝试，当点D在BC所在直线上运动时，点E的运动轨迹刚好是BE所在直线，因此必然可以找到一个点C′，使得AE=EC′.

如图9（3），尝试利用轴对称视角解决此问题，在△ABC中作BC边上的高AF，将△ABC以AF为对称轴作对称图形△AB′C′.此时把等边三角形ADE和Rt△AB′C′结合起来看就和原题一致了，此时点E的运动轨迹自然是一条直线，也有AE=EC′.

结论推广2 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，以AD为边作等边三

角形ADE.当动点D在边BC所在直线上运动时，点E的运动轨迹是一条直线.

③基于原题的再改编

通过上述的探究，将本题动点D位置的研究从线段拓展到直线，同时也进一步研究了动点E的运动轨迹.因此，将原题模型与圆进一步结合，同时加入动点运动轨迹探究，通过润色改编得到以下变式.

变式如图10，点A，B，C在以BE为直径的⊙O上，且有AB=BC，分别连结AB，BC，AO和EC.

（1）求证：∠BAO+∠BEC=90°.

（2）F是直径BE上的任意一点，连结CF，以CF为边在其右侧作等边三角形CFG，并連结GE，若AB=2，∠BAO=60°.

①求证：CG=GE.