挖掘几何特征,优化运算过程*

广东省佛山市高明区第一中学(528500) 刘传星

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》明确提出数学运算是六大数学核心素养之一.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括: 理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.数学运算是解决数学问题的基本手段,数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础.数学运算主要表现为: 理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

解析几何是高中数学的重点内容,也是难点,在历年高考中常常作为压轴题,解析几何解答题的计算复杂度高、计算量大、几何条件多,能够有效的考查学生的知识能力和思维水平.此题在高考中得分率偏低,根据学生的反馈和平常的观察,其中一个最重要的因素就是学生的运算能力不过关,运算素养亟待提高.究其原因,学生对运算的本质没有深入进行探究和理解, 拿起笔就硬算, 没有分析算理、优化计算,从而导致计算量巨大,自身能力达不到,在有限的时间内不可能完成.如果能仔细审题,把题目条件和结论有效的结合起来,认真分析题目中的几何关系,把握问题的本质,选择合适的解题方法,优化计算过程,往往可以减少计算量,简化运算,提高解题效率,提升运算素养.所以对数学运算过程的优化非常重要,下面以一道解析几何模拟题为例进行探究.

1 问题呈现,考点解析

问题已知双曲线的右焦点为F(2,0),一条渐近线方程为

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A、B,过F的直线l交C的右支于M、N两点,连结MB交直线于点Q,求证:A、Q、N三点共线.

考点解析本题是以双曲线为背景的解析几何问题,考查双曲线与直线的位置关系、直线交点、三点共线等内容.难点在于如何建立三个点的关系,运用所学知识,利用坐标的代数运算证明三点共线.解析几何问题的本质是把几何问题代数化,再联立合适的方程,最后转化成相关点的坐标运算进行求解.解题过程中往往会有复杂的运算,在分析问题和解题过程中, 需要深度挖掘几何条件, 关注定义, 合理分析,适当优化,快速解题.

2 解法探究,优化运算

2.1 常规方法、直译条件

分析由于第(1) 问难度较低, 计算方法基本相似, 学生能够容易掌握, 所以本文重点就第二问的解法进行探究.解决此题的关键有两点: 一是联立直线与双曲线的方程并求出交点坐标, 二是选择合理代数关系, 实现三点共线代数运算的坐标化.常规方法是联立直线l的点斜式方程y=k(x-2)与双曲线C的标准方程,用参数k来表示点M、N、Q的坐标,再利用两个向量共线证明A、Q、N三点共线,从而构建了A、Q、N三点共线与坐标运算之间的联系,达到求解目的.

解法1(1) 依题意可得a2+b2= 4,,解得a2=3,b2=1,故C的方程为

①若直线l的斜率不存在, 则直线l的方程为x= 2, 所以, 此时直线MB:令得所以即故A、Q、N三点共线.

②若直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2), 联立方程消去y整理得:(1-3k2)x2+ 12k2x -12k2-3 = 0, 所以直线MB:

评析直线与双曲线有关的问题,经常考虑直接联立方程组,利用韦达定理,结合几何位置关系求解,上述解法采用常规方法证明三点共线,直译条件,结合向量共线证明.该方法的利弊十分明显,优点是解题思路清晰自然,但计算过程比较繁琐,而且还要讨论斜率不存在的情况,需要分类讨论.既要求Q点的坐标,还要代入向量共线公式,把韦达定理代入方程进行化简运算,方程的结构复杂,运算量大,对学生的计算能力要求很高,挑战很大.

2.2 巧设直线,初步优化

根据直线l过x轴上的定点F(2,0),此时可以设直线l的方程为x=my+2,点M、N两点是直线与双曲线的交点,结合韦达定理,用参数m表示y1+y2和y1y2的值,最后利用向量共线的条件建立方程证明三点共线.

解法2(1)略,同解法1.

评析在上述处理直线l的方程时, 不再是设x表示成y的直线方程,而是根据中直线l的位置特征,反设直线x=my+2,这样避免讨论直线l斜率不存在的情况,减少了运算量.另外,直线方程x=my+2 的形式更加简洁,联立双曲线方程的计算过程简单,得到y1+y2和y1y2的表达式更简洁,从而达到了优化运算过程,提升运算效率的功能.

2.3 挖掘条件,深度优化

在解决直线与圆锥曲线的相关问题中,充分挖掘题目中的条件,深入分析几何关系,回归问题的本质,会有事半功倍的效果.针对题中A、Q、N三点共线这一问题,根据分析,点Q必定是直线直线MB、直线AN的共同的交点,根据几何关系,只需要证直线MB与AN交点的横坐标为就能得到A、Q、N三点共线.

解法3第(1)问略.

评注在上述证明过程中,充分利用了直线相交的位置关系, 直接利用直线MB与AN构成方程组, 通过计算得到直线MB与AN交点的横坐标是定值,从而证明三点共线.计算过程巧妙运用了非对称的韦达定理, 从而得到y1+y2和y1y2的关系,即整个求解过程的计算量大大的减少了,避免了许多重复、繁琐的简单代入计算,回归到解析几何问题的本质.所以在破解解析几何问题时要重点思考题干中的信息,挖掘条件背后隐藏的几何关系,提炼出几何特征,优化运算过程,构建恰当的方程快速解题.

3 解后思考,反思教学

高考解析几何问题的复杂性和综合性都比较强,拥有较强的计算能力是必不可少的,虽然不能避免计算,但是可以想办法优化计算,从不同的视角分析问题,挖掘几何特征,得出不同的解题策略,深度挖掘隐含条件,抓住问题的本质,分析算理,多思少算,优化计算过程,追求最优解,提升运算素养,这也是高考命题的趋势和重要考查方向,2022年全国高考数学卷对学生的运算能力提出了更高的要求,不仅注重对运算能力的考查,也加强对学生思维能力、运算技巧的考查.在日常教学中,学生的运算能力培养应作为数学教学的重点内容,多采用“优化解法”、“优化运算”、“一题多解”等训练学生思维能力的教学方式,也可以通过变式教学来拓展学生的思维,提升运算素养.