从高考试题来看研读教材的价值*

湖南省长沙市长郡湘府中学(410000) 田逢池 李 浩

高效教学的前提是要研读材,要从数学教材的内容与典型的例习题中读出数学的本质,要从静态的文字中读出动态的思想和方法, 要从典型的例题习题中拓展出丰富的内容.深度学习要求教师引导学生深入的研究教材, 经常从如下的几个角度来考虑,从教材育人价值的角度、教材的编写意图、教材中的探究问题、教材中的典型例题,教材中的课后习题、“三维目标”的落实和核心素养的培养等方面来理解和研究教材.总之,对教材的研读与理解是一个创造性的研究工作,打造高效课堂,教师要善于做教材的研究者,研读教材,用好教材,用活教材.

1 聚焦问题,高效教学

下面我们从2022年全国1 卷高考数学第7 题剖析来研读教材的必要性.

例(2022年全国1 卷第7 题)设a=0.1e0,1,c=-ln 0.9,则( )

A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜a

C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b

考情分析此题看似简单,是根据函数性质比较大小的常见题型.在高考考试过程中此题让很多的考生望而却步,平时成绩一般的学生根本无从下手,成绩优秀的学生中也难免找不到好的办法,以致耽误不少的时间才找到答案.

分析构造函数f(x) = ln(1+x)-x,导数判断其单调性,由此确定a,b,c的大小.

常见解法设f(x) = ln(1+x)-x,(x ＞-1), 因为,当x ∈(-1,0)时,f′(x)＞0,当x ∈(0,+∞)时f′(x)＜0,所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减,在(-1,0)上单调递增,所以f(0) = 0,所以故=-ln 0.9,即b ＞c, 所以所以故,所以,故a ＜b.

评价学生难以想到, 解法也不自然, 即使想到此种思路,一个小题,计算量如此之大,考试过程中也不允许花费较多的时间,显然不符合考场的实际情况.教师在教学过程中,若对教材研读不够深入,对教材的典型例题、习题不去深入研究,学生要轻松的解决此题还是较难的.如何让解法更容易想到? 如何观察分析问题的规律? 如何快速找到相应的方法? 如何快速的构造函数求导求解? 这些都是值得深思的.

2 算理探讨,回归教材

分析其实ex ＞1 +x(x ＞0), 本题出自于《数学选修2-2》人民教育出版社2007年1月第2 版, P32 习题1.3B 组第1(3) 题.《数学选择性必修2》人民教育出版社2020年3月第1 版, P99 习题5.3 第12(1) 题.我们不难构造函数f(x) = ex - x -1(x ＞0), 从而证明ex ＞1+x(x ＞0).若从高等数学泰勒级数观点我们知道, 这是比较常见的形式,也是数学教师的应具备的数学学科知识(MK).适当放缩有ex ＜1+x+x2+x3+···+xn=.于是有:我们用”代替“x”,则有:于是,不等式两边同时取对数,会得到平时的复习过程中,善于研究教材,发散思维,举一反三,才能迅速得到上述问题的改进解法.

围绕ex ＞1+x(x ＞0),还可以得到一系列的结论,比如:

(1)x ＞ln(1+x); (2)x-1＞lnx; (3)等等, 这些都是常见的变形.(4)＜1 +x ＜ex; (5)这两个变形式的运用,显得更加隐蔽.

另解令因为:得:可得c ＜b.又＜1+x ＜ex(x ＞0),令,得到:,即,可得a ＜b.令a= 0.1e0.1,c=-ln(1-0.1),将0.1 抽象成x,所以a=xex,c=-ln(1-x),则a-c=xex+ln(1-x),同上方法构造函数,二次求导求解,a ＞c,问题迎刃而解.

评价根据教材典型习题的研究,迅速捕捉到解题的灵感,利用相关的二级结论,迅速得到c＜b? a＜b.从而聚焦a,c的大小比较,从而构造函数,回归到常规二次求导解决问题.

从解题的元认知视角来看,如何能快速找到思路? 如何利用常见的相关二级结论? 如何提高解题的效率? 如何让考生自然联想到这些,这就考查数学教师平时教学中的基本功了.所以,平时教学中要认真去研读教材,灵活处理教材,要基于教材,研读教材,超越教材.那么,怎样去研读教材呢? 研读教材的什么内容呢?

3 核心素养,研读教材

数学教师要落实核心素养的渗透,平时教学中必须从如下几个方面深入研读教材.

3.1 研读教材的育人价值

教材编写中,哪些地方渗透德育的思想,哪些地方体现数学育人价值,这些都是数学教师应该去思考的问题.同时也要找到教材的最佳育人切入点.比如,一些数学史,数学应用场景,数学阅读材料等等,都是教材中育人的好材料.

3.2 研读教材的编写意图

教材编写有很强的系统性,知识的积累和训练都是由易到难,循序渐进,呈螺旋式上升的.研读教材时多问几个为什么.例题为什么这样设计? 结论为什么这样引出? 习题为什么这么编排? 例题与习题关系怎样? 习题能否继续拓展? 等等.

3.3 研读教材的思考题

教材中的思考题是教材对概念的延伸、对知识的深化拓展.思考题设置是有编写者的特殊用意的,用好这些思考题是发展学生的数学核心素养,提升数学关键能力的重要一环;用好这些思考题也能帮助数学老师在课堂教学中,化解难点把握重点,帮助学生深刻理解相关知识点.

3.4 研读教材中的典型例题

教材中的典型例题,是教材编写专家们经过深思熟虑设计的,是研读的重点.研读例题的地位与作用,弄清例题的功能,让学生由例及理、由例及法、由例及类,举一反三、触类盘通,让老师理清知识点,把握好重点难点.

3.5 研读教材的课后习题

数学教材的课后习题,是体现编者意图的重要内容,教学中要高度重视, 努力挖掘, 合理运用, 帮助学生深入探究,举一反三,变式训练,归纳总结.

3.6 研读教材,落实三维目标

研读教材,根据教材编排内容体系,结合数学课程标准,合理利用教材中的素材组织教学,才能有效达成学生知识能力、过程方法、情感态度价值观的三维目标.

3.7 研读教材,培养学生数学核心素养

研读教材,大胆活用教材,把教材看成是学生学习数学的工具与载体,创造性的使用好教材.研读教材,课堂从学科知识的教学上升至素养导向的教学.

3.8 尝试用高观点视角研读教材

教学中教师要站得高才看得远.教师要从高观点下来解析教学中的疑难,主动去挖掘教材中高中数学与高等数学的结合点,深刻理解高中数学教材中的疑难知识.

我们听到学生学习数学最多的抱怨是“老师讲的知识我都听得懂,但是自己做题的时候就不会了.”提高教学效率,打造高效课堂,要做教材的研究者.教师不仅要做教材的研究者,而且要做题海中的研究者.不能让学生陷入题海中,而是要自己深入题海进行归纳总结,通过典型例题的深度与广度的深刻分析,让学生清楚问题的本质与规律,这样学生才能触类旁通,举一反三,灵活多变.为了解决学生们的这种状况,这不得不让我们数学教育工作者深思,这也将成为鞭策我们数学教师不断深入研究的动力.