构造函数解高考试题例析*——以构造函数比较大小为例

江苏省扬州市扬州大学数学科学学院(225009) 熊仁华

构造函数法是指借助函数将要解决的数学问题进行转化,通过辅助函数本身的性质或利用函数的运算结果解决原问题的方法[1].分析近几年的高考试题,不难发现其对构造函数的考察较为频繁,而许多学生对于构造函数的学习总是浮于表面,未能抓住构造函数的本质,遇到题目并不知道应该如何构造.比较大小这类题型是近几年高考数学考查的热点,而构造函数就是其主要解法之一.本文旨在以近五年的高考题为例,横向划分四类不同题型,归纳不同题型的构造方法,向同学展示构造函数比较大小的妙用,提升同学对于构造函数的掌握与应用.

1 利用不等式构造函数

对于题干给出不等式寻找某些量与0 的大小关系的题型,往往需要统一变量将不等号两边化为一致的结构以构造函数,利用函数的单调性找出不等式中所涉及变量的大小关系,从而判断所给量与0 的大小关系.

例1(2020,全国Ⅱ卷)若2x-2y ＜3-x-3-y,则( )

A.ln(y-x+1)＞0 B.ln(y-x+1)＜0

C.ln|x-y|＞0 D.ln|x-y|＜0

分析题中给出不等式2x -2y ＜3-x -3-y, 不等号左右两边都含有变量x,y, 不妨通过移项,将原不等式化为2x-3-x ＜2y -3-y,从而构造函数解决问题.

解由2x-2y ＜3-x-3-y,可知2x-3-x ＜2y-3-y,构造函数f(x) = 2x-3-x,则有f(x)＜f(y).由于y= 2x为增函数,y= 3-x为减函数, 因此f(x) = 2x -3-x在R上单调递增, 故x ＜y.由此可得y - x+ 1＞1, 故ln(y-x+1)＞ln 1=0,A 选项正确;由于|x-y|与1 的大小关系无法判断,故C、D 错误.

综上所述,答案选A.

点评此题的关键在于通过移项构造函数,得到变量x和y的大小关系,从而获得问题的解决,属于基础题,读者应熟练掌握.

2 利用等量关系构造函数

对于题干给出等量关系寻找大小关系这类题型,通常是通过统一等式两边的某些量(比如: 对数函数统一底数),从而构造函数, 将等式两边不同的量视为自变量的不同取值,然后通过研究函数的单调性得到其大小关系.

例2(2020,全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )

A.a ＞2bB.a ＜2b

C.a ＞b2D.a ＜b2

分析题中给出一个等式,观察左右两边,不难发现都是一个指数与一个对数的和,虽然其底数不同,但利用指、对数函数的性质不难将其化为一致的形式.因此,不妨构造函数,利用函数的单调性来判定大小.

解2a+ log2a= 4b+ 2log4b= 22b+ logb, 由于22b+ log22b= 22b+ log2b+ 1＞22b+ log2b, 因此22b+log22b ＞2a+log2a.构造函数f(x) = 2x+log2x,因为y=2x与y=log2x都为增函数,所以f(x)=2x+log2x在定义域上单调递增, 由2a+ log2a ＜22b+ log22b, 即f(a)＜f(2b),得到a ＜2b,故选B.对于a,b2的大小关系,我们通过对其函数值作差并利用函数单调性来判断:

当b= 1 时,f(a)-f(b2) = 2＞0,即a ＞b2;当b= 2 时,f(a)-f(b2)=-1＜0,则a ＜b2.因此a和b2的大小关系不能确定,C、D 错误.

点评此题的关键在于通过已知等式构造出相应的函数, 而原始的等式左右两边的底数不同, 因此读者需要有统一底数的意识,从而发现解决此题的突破口,即构造函数f(x) = 2x+log2x;此外log22b= log2b+1,考查对数函数运算性质的同时,也巧妙地考查了放缩法.

例3(2018, 浙江) 已知a1,a2,a3,a4成等比数列, 且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1＞1,则( )

A.a1＜a3,a2＜a4B.a1＞a3,a2＜a4

C.a1＜a3,a2＞a4D.a1＞a3,a2＞a4

分析观察这个等式,不难发现a1+a2+a3是公共部分,如果以整体的思维看,这个等式可以改写为x+a4=lnx,即lnx-x=a4.那么不妨构造函数f(x)=lnx-x,再进一步去观察其具有的性质,逐步得到公比q的范围,以得到它们的大小关系.

解由a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3), 得ln(a1+a2+a3)-(a1+a2+a3) =a4, 不妨构造函数f(x) = lnx-x,则,x ∈(0,+∞).显然当0＜x ＜1 时,f′(x)＞0; 当x ＞1 时,f′(x)＜0.故f(x) 在区间(0,1) 上是增函数, 在区间(1,+∞) 上是减函数.故f(x)max=f(1) = ln 1-1 =-1.因此对一切x ∈(0,+∞),都有f(x) ≤-1 成立,也即lnx≤x-1,因此ln(a1+a2+a3)≤(a1+a2+a3)-1.又因为a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),所以a1+a2+a3+a4≤a1+a2+a3-1,也即a4≤-1.

设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q(q≠0),又a1＞1,则q ＜0,因此a2＜0,a3＞0.若q≤-1,则

而

这与a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3) 相矛盾, 故-1＜q ＜0,则a1＞a3,a2＜a4,选B.

点评此题的难点在于通过已给的等式, 构造出函数f(x) = lnx-x,进而得到a4的取值范围,再讨论得到q的范围.对于函数的构造,这里需要通过一定的观察,以及具备整体代换的思维,读者在学习时应注意练习积累.

3 寻找共性巧设函数

对于给出需要比较的各个量的式子这类题型,一般的做法是利用作差法与0 作比较,但由于结果的正负难以直接判断,因此通常可以用它们的某个“共性”来进行函数构造,将这个“共性”视为自变量,通过讨论出函数的单调性,再得到“共性”对应函数值的正负,即可得到所求量的大小关系.

例4(2021, 全国Ⅰ卷) 设a= 2 ln 1.01,b= ln 1.02,则( )

A.a ＜b ＜cB.b ＜c ＜a

C.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b

分析a,b都是自然对数,因此可以通过比较真数大小来判断a,b的大小关系;对于a,c以及b,c的大小关系,则可以通过构造函数来进行判定.

解由于a= 2 ln 1.01 = ln 1.012= ln 1.0201, 而b= 1.02, 因此a ＞b.a - c= 2 ln 1.01-设x= 0.01,则因此构造函数显然,由于(1+x)2-(1+4x)=x2-2x=x(x-2)＜0,故f′(x)＞0,即f(x)在x ∈(0,1)上单调递增,则f(0.01)＞f(0)=0,因此a ＞c.

综上所述,b ＜c ＜a,选B.

点评在分别比较a,c以及b,c的大小关系时,为了使得所构造的函数最简洁,分别令x= 0.01 以及x= 0.02,得到f(x)和g(x);当然,都令x= 0.01 同样可以证得结论(读者可自行尝试这种设法),只是这样构造出的函数g(x)就会有所差异,反映了构造的灵活性.此外,为了方便讨论函数的单调性,还应限定x的取值范围,一般以将目标x的值包括在内的区间尽可能小为宜,以免范围太大,导致问题复杂化.

例5(2022,新高考Ⅰ)设a=0.1e0.1,,c=-ln 0.9,则( )

A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜a

C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b

分析题干给出的a,b,c三个量,直接比较显然行不通,但通过观察,不难发现这三个量都直接或间接地涉及了0.1这个数,因此不妨通过构造函数,利用函数的单调性来进行大小比较.

解由于a= 0.1e0.1,c=-ln 0.9 =-ln(1-0.1), 不妨构造函数f1(x) =xex,f3(x)=-ln(1-x),x ∈(0,0.2),令

令h(x)=f1(x)-f3(x)=xex+ln(1-x),则h′(x)=令p(x)=ex(1-x2)-1,则p′(x) = ex(1-x2)+ex·(-2x) = ex(1-2x-x2)＞0,故h(x)在x ∈(0,0.2)上单调递增,又当x=0 时,h(x)=0,所以x=0.1 时,h(x)＞0,即a ＞c.

综上,c ＜a ＜b,故选B.

点评判断几个数的大小是近几年高考数学常考的题型,对于这类题,往往首先需要找出它们的共性(比如此题中这三个量都涉及了0.1 这个数).从某种程度上讲,发现这个共性是解决此类题型的突破口.当然,要发现这个共性并非易事,需要读者细致入微的观察.

4 巧凑共性构造函数

对于题干所给量不具备十分明显的“共性”时,可以有目的地凑出“共性”来构造函数,从而通过函数的单调性来确定所给量得到大小关系.

例6(2022, 全国甲卷) 已知试比较a,b,c的大小, 下列正确的是( )

A.c ＞b ＞aB.b ＞a ＞c

C.a ＞b ＞cD.a ＞c ＞b

分析由于b,c都是三角函数,故可通过作商与1 比较得到两者的大小关系;是一个常数,不便直接与b,c比较大小,因此可以考虑构造函数.然而题干中并没有给出等量关系,也没有十分明显的共性存在,因此该问题的难点就在于应该如何构造函数.

解比较b和由于时,x ＜tanx, 因此即c ＞b.构造函数f(x) = cosx+-1,x ∈(0,1),则f′(x) =-sinx+x.由于f′′(x) = 1-cosx ＞0, 因此f′(x)＞f′(0) = 0, 即f(x) 在x ∈(0,1) 上单调递增, 则有即,故b ＞a.

综上所述,c ＞b ＞a,选A.

点评,由于b,c都涉及了常数,因此不妨也将a表示为含常数的式子,即,则

结束语: 构造函数是一种重要的解题方法,其能帮助学生迅速找到解题思路,并快速解题[2].这种方法不仅在高考中时有考察,并且对学生发展创造力有着重要的作用,有利于培养学生的观察能力以及问题解决能力.本文围绕构造函数比较大小这个主题,从四个维度进行了讨论,详细地给出了每个维度的特征以及通用的解法,并举出典型例题进行具体说明,以期为读者提供一些参考与解题思路.构造函数法作为解决数学问题的重要方法之一,除了可用于本文中反复提到的比较大小,还有证明不等式、寻找参数范围、证明结论等多方面的运用.因此,教师在日常教学中,应结合相关的题目,合理地对学生进行引导,鼓励学生多观察思考,逐步提升数学核心素养.当然,构造函数法并不是万能的方法,教师还应注意其他重要数学思想方法的教学,各方面皆不可偏废.