重视数学探究活动 发展学生核心素养

【摘 要】数学探究课是指学生在教师主导下围绕某个数学问题，通过自主学习、合作探究、小组展示等方式，主动获取知识、应用知识、解决问题的课堂模式。探究内容可以是课本上的，也可以是根据课本知识引申的，关键是要体现数学探究的价值，渗透探究的一般路径与方法，让学生学会的不仅仅是知识，更重要的是构建探究问题的思路，进而实现迁移与运用。

【关键词】高中数学；探究活动；函数的图象与性质；核心素养

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）29-0047-05

【作者简介】姜尚鹏，山东省平度市第九中学（山东青岛，266700）教师，一级教师，青岛市优秀教师，青岛名师，青岛市学科带头人，青岛市教学能手。

数学探究是指围绕某个具体的数学问题的活动，学生开展自主探究、合作研究并最终解决问题，具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。

“探究函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质”安排在高一上学期，学生学完初等函数的学习之后，是一节探究课。在一方面通过对教材的挖掘，增进学生对“对号函数”和“飘带函数”的理解。另一方面，引导学生通过类比与对比得到研究一般函数图象与性质的路径，让学生经历从特殊到一般的提炼过程，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生积累数学探究活动经验，发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养。

一、教学过程

1.创设情境，抽象函数

我校科技馆要制作一个占地32m2的围栏保护孔子像。如下页图1所示，设围栏的边长AD为xm，因场地限制要求AD不超过3m，围栏总长为ym。你能帮忙设计围栏的长和宽，使围栏用料最省吗？

学生自主构建函数模型，寻找求解最值的方法，教师引导学生进一步研究函数的单调性，并引导学生将函数y=2x+[32x]一般化，扩充研究范围，抛出研究函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质。

【设计意图】借助实际生活情境，让学生构建相应函数模型，发展学生的数学抽象和数学建模核心素养。由于基本不等式解决不了问题，产生思维冲突，激发学生思考需要进一步研究一个新函数的图象与性质。

2.复习旧知，回忆经验

教师引导学生回忆之前研究过的类似函数，即函数y=x+[1x]的图象与性质。之后教师播放探究函数y=x+[1x]的图象与性质的微課视频。

微课内容：通过描点作图的方式引导学生画出函数y=x+[1x]的图象，之后从图象观察函数的性质。但对于部分性质，如值域和渐近线等，无法从图象直接观察得出，所以通过从“数”的角度，即解析式入手先研究函数y=x+[1x]的性质，如值域和渐近线，再完善函数的图象。或者，从“形”的角度，即将函数分解成两个熟悉函数y=x和y=[1x]，当横坐标相同时，纵坐标相加构成函数y=x+[1x]的图象的角度进行分析，这样得到的函数图象更加精确，值域和渐近线也更容易从图象观察得出。

【设计意图】通过回忆特例——函数y=x+[1x]的图象与性质的研究路径，为后续研究一般函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质的研究路径做铺垫，并在之前研究路径的基础上，通过探究对研究路径进行再扩充和再梳理，发展学生的逻辑推理等核心素养。

3.研制策略，优化方案

问题1：类比以往研究函数的经验，你认为应该按照怎样的思路研究函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质？

生：先对a，b进行讨论，可以分成y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）、y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＞0）四类函数。

师：需要对这四类函数一一进行讨论吗？

生：第三类和第四类函数的图象可以通过将第一类和第二类函数的图象关于x轴对称得到，所以只需要研究第一类和第二类函数的图象与性质即可。

【设计意图】教师让学生自主分析函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质的研究思路，体现了先整体架构研究框架，再逐个击破的研究方法，能够培养学生逻辑推理等核心素养。

4.小组合作，感悟路径

问题2：每个小组选择一类函数，你们能给出几种研究函数的图象与性质的路径？

教师把所有小组分成两队，分别研究函数y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）和函数y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的图象与性质，学生先独立思考，之后小组讨论，最后小组代表展示研究成果。

小组代表1：我们小组探究的是函数y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路径是从图象到性质。不妨令a=1，研究b对函数y=x+[bx]（b＞0）图象的影响。借助GeoGebra软件，可以发现b影响了函数在x∈（0，+∞）上图象的最低点和x∈（-∞，0）上图象的最高点。（见图2）同理可以得到a影响了函数图象的开口，也就是渐近线，最后我们可以观察函数y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）的图象得到它的性质。（见图3）

师：你能用总结的性质解决“围栏”问题吗？

小组代表1：可以。函数在y=2x+[32x]在x∈（0，3］上单调递减，所以当x=3时取到最小值。

师：还有其他的研究路径吗？

小组代表2：我们小组探究的是函数y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路径是从性质到图象。首先研究函数的定义域，易得[x∣x≠0]。接下来研究奇偶性，由奇偶性的定义易证这是一个奇函数。再研究它的单调性，我们借助基本不等式可以得到这个函数的单调增区间为（-∞，-[ba]），（[ba]，+∞），单调减区间为（-[ba]，0），（0，[ba]）并可得函数的值域为（-∞，-2[ab]）∪（2[ab]，+∞）。接下来研究渐近线，当x→0时ax→0，函数趋向于y=[bx]，所以一条渐近线是y轴，当x→+∞时[bx]→0，函数趋向于y=ax，所以另一条渐近线为y=ax。最后通过性质画出函数的图象，并借助GeoGebra软件作图验证。

小组代表3：我们小组探究的是函数y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路径是从图象到性质。我们发现它是由我们熟悉的函数y=ax和y=[bx]相加得到的，所以我们先借助GeoGebra软件作出y=x和y=-[1x]的图象，在x轴上取一点，过这点作垂直于x轴的直线，与y=x和y=-[1x]的图象分别交于一点，再通过软件的平移功能，得到刚才两个交点纵坐标和对应的点，移动垂线，得到该点的轨迹就是所求函数图象。通過观察容易发现，它的定义域[x∣x≠0]，在（-∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，关于原点对称是奇函数，值域为R。下面我们固定a=1，改变b的值，发现图象对应的性质未发生改变。我们又固定b=-1，改变a的值，发现渐近线一直随着变化，也就是说a影响了函数图象的渐近线。

小组代表4：我们小组探究的是函数y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路径是从性质到图象：先研究两个熟悉函数y=ax和y=[bx]的性质，合成y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的性质。比如，y=ax是奇函数，y=[bx]是奇函数，所以y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）是奇函数，其他性质也可以同理推出，最后再画出函数的图象，并通过GeoGebra软件作图验证。

师：这样我们就得到了两类函数的图象与性质，他们分别叫“对号函数”和“飘带函数”。（见图4，图5）同时我们还得到多种研究路径：一是把函数看成一个整体，然后既可以从“形”出发，由图象研究性质，也可以从“数”出发，由性质研究图象。二是分解函数，把函数看成两个函数经过运算得到的，同样既可以从“形”出发，由两个函数的图象合成研究一个函数的图象，进而通过图象研究性质，也可以从“数”出发，由两个函数的性质合成研究一个函数的性质，进而通过性质研究图象。

【设计意图】通过让学生分组研究，避免了同时研究两类相似的函数而浪费时间。此外，小组合作还培养了学生的交流合作能力。教师收集每个小组的研究路径，进行汇总和结构化梳理，引导学生梳理研究函数的图象与性质的方法，有利于学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养的发展。

5.独立思考，内化路径

问题3：通过今天的学习，你认为还能研究哪些函数的图象与性质？给出函数并尝试研究它的图象与性质。（开放题）

学生先独立思考，之后通过小组合作，讨论交流选择函数，并借助GeoGebra软件研究它的图象与性质。笔者收集学生研究的函数类型有y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0），y=a｜x｜+ax2（a＞0），y=2x2sinx等。

大部分学生选择的是y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）这个函数。展示小组是从分解成两个函数y=ax2和y=[bx2]的图象，借助GeoGebra软件合成一个函数y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）的图象的路径进行的研究。除了前面分析的研究路径外，教师还通过追问让学生学习从复合函数的角度研究该函数。

对于函数y=a∣x∣+ax2（a＞0）的图象与性质，展示小组是先从整体研究性质再画图象的路径进行的研究，因为学生发现从代数角度很容易研究这个解析式的性质，并且由于两个部分有同一个参数a，不适合分解研究。

对于函数y=2x2sinx的图象与性质，教师引导学生不仅可以研究由基本初等函数加减得到的函数，也可以是乘除得到的函数。当然，学生还给出了很多其他的函数类型，由于时间关系，课堂上没有一一展示。

【设计意图】对于本节课研究的函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质知识层面的巩固放到课后，研究路径的巩固放到课上。通过开放式问题激发学生思考，让学生自己构造研究的函数。借助小组代表展示，教师了解学生构造的函数以及研究思路，并及时进行挑选和梳理，与学生一起分析如何根据函数解析式的特征挑选合适的研究路径，并将研究的函数的类型的范围进行推广，可以是含有两个参数的函数，也可以是含有同一个参数两次的函数，还可以是没有参数但变成两个基本初等函数乘除的函数。这样，学生既巩固了新知，又在新知学习的基础上拓宽了思维与视野，数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养得到培养。

二、教学思考

1.数学探究活动内容选择要恰当

本节课主要内容是探究函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质以及明确研究一般函数图象与性质的路径。本节课是在研究函数y=x+[1x]的图象与性质的基础上，进一步研究一个更一般化的函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质。这一探究过程意在告诉学生研究一个一般函数图象与性质的多种路径，体现了数形结合、分类讨论、类比、特殊到一般等思想，对于学生数学思维的训练、核心素养的提升有着很大的帮助。因此，在学生学习完基本初等函数之后，作为单元学习的提升，安排一节课让学生探究函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质是恰当且必要的。

2.数学探究活动应合理使用信息技术

教材中信息技术与数学内容的融合情况既影响教师的教也影响学生的学。［1］描点作图法适合学生刚学习某个函数时应用。当学生有了一定的知识储备后，要对函数进行深度探究时，GeoGebra软件是非常方便的。一是GeoGebra软件具有呈现作图的功能。可以迅速作出函数的图象，方便学生根据图象猜测性质，进而通过代数方法说明。二是GeoGebra软件具有呈现动态轨迹的功能。学生描点作出的函数图象毕竟是有限的且静止的，但是通过GeoGebra软件调动参数的变化，跟踪函数图象轨迹可以让学生看到若干函数图象的变化趋势，从而总结性质，加深对知识的理解。三是GeoGebra软件操作与数学知识的融合功能。学生在研究y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象与性质时，分解成y=ax（a＞0）和y=[bx]（b＜0）的图象，之后借助GeoGebra软件作图的平移功能，通过跟踪轨迹得到y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的图象，这样的作图需要学生深刻理解数学知识才能画出函数的图象。这样得到的函数图象比直接输入函数解析式得到图象更加形象，也更能锻炼学生的数学实践能力。

3.数学探究活动要“收放有度”

教师通过微课让学生回忆之前是如何学习函数y=x+[1x]的图象与性质，为本节课类比学习函数y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的图象和性质做铺垫。有了铺垫，整个探究过程教师完全放手，让学生自主构建研究思路，梳理研究路径，最后教师再收集学生的各种研究路径，与学生共同总结与提炼。同时，将研究路径进行应用时，教师也是充分放手给学生，让学生自主选择研究的函数，并自主选择合适的路径研究它的图象与性质，最后教师收集学生研究的各种函数类型，与学生共同总结与提炼。整个探究活动教师放手让学生自主研究的同时又及时收回研究内容，梳理相关内容并进行总结与提炼，真正实现了“收放有度”。

【参考文献】

［1］胡凤娟，吕世虎.高中数学教材中信息技术与函数内容融合的研究——以2019年6个版本高中数学新教材为例［J］.当代教育与文化，2021，13（3）：46-54.

［2］丁书明.重启探究与发现 发展数学素养——“探究函数y=x+1/x的图象与性质”的教学设计［J］.中学数学教学参考，2020（34）：31-34.