一道全国新高考Ⅱ卷题的探究与推广*

广东省广州市天河外国语学校 (510627) 刘惠梅

2022年新高考全国Ⅱ卷第21题以解析几何为背景设置了开放性试题,比往年明显加大了开放题的创新力度和广度,突出了对思维灵活性品质的考查.在考査理性思维的同时,也考查了逻辑推理、数学抽象、直观想象核心素养,体现了素养导向、能力为重的命题原则.

一、试题呈现及分析

图1

①M在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.

本题以双曲线为切入点,以探索创新情境为载体,聚焦结构不良问题实现创新性的考察要求,重点考察与中点有关的曲线相交问题,围绕着图形特征的探索,考察数学探究和空间想象素养以及逻辑推理、数学运算关键能力,其中特别是逻辑推理能力要求较高.解题的思路有四种:(1)“设线”入手(设直线PQ方程);(2)“设点”入手(设P,Q两点坐标);(3)“点差法”探索与中点有关的问题;(4)利用“直线参数方程的几何意义”来解决问题.下面从条件出发,以“设线”入手解题.

二、试题解答

三、试题拓展

图2

图3

图4

图5

以双曲线为载体的解析几何研究是近两年全国卷的热点问题,双曲线与其退化的情形(即两条渐近线)的性质有许多共通之处,研究双曲线和其渐近线有关的问题时,可以考虑曲直转化.解析几何的教学要不断强化“文字语言、符号语言、图形语言”三种语言转化能力.几何问题“解析化”是有方向可循的,首先我们要明确这是一个什么样的几何问题,即我们是将这个几何问题视作整体的图形去挖掘它的几何特征,还是看作两个或多个图形去探索它们的关系,亦或者从数量关系角度进行挖掘,接着研究和探索这个几何问题需要用到哪些代数条件,再把几何问题代数化(有时候这个代数化过程不是很直观,需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化).

因此,新高考下我们在复习备考中要强化自主探究,要能够从多角度思考,深入挖掘图形的几何特征,掌握研究解析几何问题的一般方法和思维方式,提升学生的解题力.